Physique appliquée

Cette tentative de polycopié contient certainement un grand nombre d’erreurs étant donné qu’elle est développée en même temps que le cours est donné et qu’elle en est à ses premiers mois de vie. Quand vous trouverez des erreurs n’hésitez pas à me les communiquer et ainsi améliorer la qualité de ce polycopié. Toute erreur trouvée concernant de la “physique” (pas les fautes d’orthographe donc) seront récompensées par un bonus sur la note des contrôles continus.

Bibliographie

Il existe une multitude de bons livres de physique générale à disposition. Ce polycopié est largement inspiré du livre de D. C. Giancoli, Physics: principles with applications, 7-th edition, Pearson, 2014. D’autres lectures possibles sont les suivantes:

Une partie de la bibliographie que je vous ai donné est en anglais. Il existe des traductions qui sont en principe disponibles à la bibliothèque.

Analyse dimensionnelle

Généralités

Toues les sciences “naturelles” sont basées sur l’observation du monde qui nous entoure. Mais malgré le fait qu’on ait l’impression que le processus d’observation soit une suite simple: observation, expérimentation, obtention de résultats, qu’on explique avec une théorie (un ensemble de lois) cela n’est pas vraiment le cas. En fait, de façon proche à ce qui se passe dans les arts, les sciences sont un processus hautement créatif. En effet, lors d’une observation un scientifique ne décrit pas tout ce qu’il voit, mais sélectionne uniquement ce qu’il juge important pour la compréhension et l’interprétation d’un phénomène. De plus, une fois sélectionné le processus à observer, il convient de créer une expérience permettant de le mesurer de façon aussi précise que possible pour pouvoir le décrire. La mesure tient donc une place centrale dans les sciences et se complète parfaitement avec la création de théories qui permettent l’explication d’observations. Par ailleurs, toutes les théories ne sont pas le fruit d’expériences (ou d’observations) mais ont souvent été le résultat de constructions de l’esprit. Dans ce cas les expériences, viennent confirmer (ou infirmer) les théories. En effet, une théorie physique est supposée vraie jusqu’à ce qu’une expérience vienne l’infirmer (on ne peut pas prouver une théorie).

Les lois physiques sont des outils très pratiques permettant la prédiction quantitative de phénomènes (et non la “post-diction” comme avec les expériences). Il est par exemple possible de prédire très précisément la hauteur à laquelle il faut lancer un satellite pour qu’il se retrouve en orbite géostationnaire (et donc connaître la quantité de carburant nécessaire par exemple) grâce aux lois de Newton. Ce qui serait certainement beaucoup plus difficile à déterminer expérimentalement, s’il fallait faire des dizaines d’essais jusqu’à ce que ça marche.

Par ailleurs, beaucoup de “lois” ont des capacités prédictives mais ne sont pas complètement générales. Par exemple, bien que les lois de Newton marchent très très bien pour notre vie de tous les jours, certaines applications d’usage quotidien ne fonctionneraient pas si on s’en tenait là. En effet, le GPS requiert l’extension des lois de Newton à la relativité générale pour pouvoir fonctionner correctement. En fait la gravitation Newtonienne est une approximation de la relativité générale.

Ces approximations sont souvent le résultat de simplifications faites dans la représentation dont ont se fait de processus physiques: les modèles. Un modèle est une vision de l’esprit qui permet de réunir plusieurs situations qui à première vue peuvent paraître non-semblables ou à simplifier un problème afin de pouvoir le résoudre plus simplement. Par exemple un liquide est composé d’atomes qui se déplacent. Il serait possible (mais complètement infaisable et inutile dans presque tous les cas) d’étudier chaque atome individuellement pour avoir une description très détaillée du mouvement d’un fluide. Néanmoins, il est beaucoup plus simple de faire l’hypothèse qu’un fluide peut être considéré comme un objet continu.

Les modèles permettent également un traduction en équations mathématiques d’un phénomène naturel. Ces équations peuvent ensuite d’être résolues à la main ou par ordinateur, chose que nous ferons durant ce cours. Mais avant d’aller plus loin, nous allons discuter des dimensions des différentes grandeurs physiques et leurs dimensions.

Unités, Système International

Toute mesure doit être effectuée par rapport à un “standard” ou unités. Cela n’a aucun sens de dire qu’un éléphant pèse 36, si nous ne disons pas 36 en quelles unités. Pour chaque grandeur de multiple standards ont été créé au cours des années qui sont devenus de plus en plus précis avec les avancées technologiques (combien exactement mesure $1{\mathrm{m}}$, la durée d’une seconde, etc). Dans cette section nous allons discuter les unités des grandeurs de base de la physique. Nous verrons en particulier le Système International (ou SI).

Ne pas se mettre d’accord sur un système d’unités peut avoir des conséquences catastrophiques. Un exemple récent est la perte du satellite Mars Climate Orbiter (le coût de la mission était de 330 millions de dollars) qui a explosé alors qu’il essayait de se mettre en orbite autour de Mars, car une partie du code informatique récoltant les donnée de la sonde donnait des résultats en unités non-SI alors que la NASA travaillait en SI. Il y a donc eu une très grossière erreur dans le calcul de la trajectoire à adopter pour la mise en orbite et le satellite s’est écrasé (plus de détails ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Mars_Climate_Orbiter).

Les unités sont définies par rapport à des grandeurs “facilement” mesurables avec une grade précision et qui ne changent pas (ou très très très peu) au cours du temps.

Longueur

Le standard international fût établi par la France dans les années 1790. Pour les unités de longueur est le mètre (abrégé ${\mathrm{m}}$). A l’origine le mètre était 1/10’000’000 de la distance entre l’équateur et un des pôles. A partir de cette mesure un étalon en platine fût forgé (c’est quand même plus pratique à utiliser). Puis, en 1889, le mètre a été défini comme la distance entre deux très fines encoche sur une barre d’un alliage platine-iridium. Comme cette façon de définir le mètre n’était pas suffisamment précise pour beaucoup d’applications, en 1960 le mètre devint $1'650'763.73$ longueur d’onde d’une lumière émise par le gaz krypton-86. En 1983, fût redéfini comme la distance parcourue par la lumière en 1/299’792’458 secondes.

Il existe d’autres unités de longueur, par exemple les britanniques utilisent le pouce ou inch (1$\mathrm{in.}$ correspond à 0.0254${\mathrm{m}}$). Dans ce cours nous nous concentrerons principalement sur le système SI.

A titre de comparaison la fig. 1.1 montre les relations entre les différentes unités de longueur qui existaient dans l’empire britannique. On y voit un très grand nombre d’unités différentes reliées entre elles par des relations plus ou moins compliquées. La page wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9s_de_mesure_anglo-saxonnes contient les unités anglosaxonnes pour des surfaces et des volumes également.

Temps

La mesure du temps en SI est donnée en secondes (abrégée ${\mathrm{s}}$). Une seconde a longtemps été définie comme étant $1/(3600\cdot 24)=1/86'000$-ème de journée solaire. La vitesse de rotation de la terre se ralentissant légèrement d’année en année, il a été nécessaire de raffiner de plus en plus cette définition. A présent une seconde correspond à un processus atomique. Il s’agit du temps nécessaire à 9’192’631’770 de la transitions entre deux états de l’atome de césium 133.

Masse

Le kilogramme (abrégé ${\mathrm{kg}}$) a été est la masse d’un étalon international du kilogramme stocké au Bureau International des poids et mesures au pavillon de Breteuil près de Paris. En 1795, le kilogramme était la masse d’un décimètre cube d’eau à une température de $4^\circ{\mathrm{C}}$. Puis il a été remplacé par divers étalons pour finalement être celui en platine iridié (voir Fig. {fig. 1.2}). Jusqu’en 2019, il s’agissait de la seule unité utilisant encore un étalon, aucune “grandeur naturelle” n’ayant pu être utilisée pour définir le kilogramme autrement. Depuis 2019, le kilogramme est défini à partir de la constante de Planck (une contante physique très utilisée en mécanique quantique) dont la valeur est \[\begin{equation} h=6.62607015\cdot 10^{-34}\mathrm{kg}\mathrm{m}^2/\mathrm{s}. \end{equation}\] Elle découle dès lors naturellement des mesures de la seconde et du mètre.

Température

La température mesure le degré d’échauffement d’un corps. En SI l’unité de la température est le degré Kelvin (abrégé ${\mathrm{K}}$). Il est défini comme le $1/273.16$-ème de la température du point triple de l’eau (la température où les trois phases, solides, liquides, gazeuse, de l’eau peuvent coexister en équilibre thermodynamique). Cette température se trouve par définition à $273.16^\circ{\mathrm{K}}$ ou encore à $0.01^\circ{\mathrm{C}}$. Nous verrons un peu plus de détails sur la définition du zéro degrés Kelvin (ou zéro absolu) dans la suite du cours.

Courant

L’intensité du courant électrique est mesurée en Ampères (abrégé ${\mathrm{A}}$). Le courant est la quantité de charge par seconde qui passe dans un élément conducteur. On définit un ampère de façon un peu complexe. C’est l’intensité de courant constant qui circulerait dans deux fils conducteurs infinis placés dans le vide, de section négligeable, et placés à une distance d’un mètre l’un de l’autre qui produirait une force de $2\cdot 10^{-7}$ Newton par longueur de mètre. Les autres unités très utiles en électricité, l’ohm (abrégé $\Omega$) et le volt (abrégé ${\mathrm{V}}$) se déduisent ensuite par les fameuse formules $U=R\cdot I$ ($[{\mathrm{V}}]=[\Omega]\cdot [{\mathrm{A}}]$) et $P=U\cdot I$ ($[{\mathrm{W}}]=[{\mathrm{V}}]\cdot [{\mathrm{A}}]$).

Avec ces relations, on constate qu’on peut déduire les unités de la résistance et de la tension en fonction de toutes celles que nous avons déjà vues précédemment.

Ordre de grandeur

Souvent nous pouvons vouloir qu’une estimation rapide d’une quantité ou simplement vouloir rapidement avoir une idée de comment “marche” un processus. Pour ce faire plutôt que d’entrer complètement dans tous les détails compliqués des calculs il peut être beaucoup plus simple de fonctionner avec des ordres de grandeurs de nos quantité (en gros on arrondit tout à l’entier ou même à la puissance de 10)¹. On a donc un résultat précis “à la puissance de 10 près”.

Calculez le volume du lac Léman sachant qu’il fait environ $70{\mathrm{km}}$ de long pour $10{\mathrm{km}}$ de large et $100{\mathrm{m}}$ de profondeur.²

Estimez le nombre de battements de coeur d’une humaine ou d’un humain sur la durée de sa vie.

Je souhaite estimer la hauteur d’un bâtiment. Supposons que mes yeux soient à une hauteur de $1.5{\mathrm{m}}$ du sol. La seule information connue est que quand je me place à une distance d’un écartement de bras d’un arbre (mesurant environ $3{\mathrm{m}}$ de haut et se trouvant à $20$ pas du bâtiment) placé entre moi et le bâtiment, l’arbre cache tout juste le haut du bâtiment.

Vous avez à disposition une règle (précise au millimètre) et un livre. Estimez aussi précisément que possible et avec un minimum d’effort l’épaisseur d’une feuille du livre.

Analyse dimensionnelle

Lorsque nous parlons de dimensions d’une quantité, nous nous référons souvent au type des unités de la quantité. Une longueur sera représentée par $[L]$³, un temps par $[T]$, une masse par $[M]$, etc. Cette notation se généralise pour toute quantité dont les quantités sont des combinaisons (multiplication ou division) de ces unités de base. Ainsi, une surface sera $[L^2]$, une fréquence $[1/T]$, une vitesse $[L/T]$, une énergie $[M\cdot L^2/T^2]$, une force $[M L/T^2]$, etc.

Écrivez les 5 types d’unités fondamentales nécessaires à la dérivation de toutes les autres.

L’analyse dimensionnelle peut se révéler particulièrement utile pour vérifier si des relations font du sens ou pas. Les lois physiques mettent en relation différentes quantités qui doivent être consistante également du point de vue des unités. On ne peut naturellement pas additionner des quantités qui n’ont pas les mêmes unités. Cela reviendrait à ajouter des éléphants à des lettres, le résultat serait alors peu clair.

Si nous prenons comme exemple la relation \[ s=x_0+\frac{1}{2}v_0 t^2, \qquad{(1.1)}\] qui décrirait la position d’un objet en mouvement rectiligne uniforme, $s$, qui partirait d’une position $x_0$, aurait une vitesse $v_0$ après un temps $t$. Si nous effectuons l’analyse dimensionnelle de cette relation nous avons \[ \begin{aligned} [L]&\stackrel{?}{=}[L]+[L/T]\cdot [T^2],\nonumber\\ &\neq[L]+[L\cdot T]. \end{aligned} \qquad{(1.2)}\] On constate donc que cette équation est certainement fausse. On note aussi que le $1/2$ n’ayant pas d’unités a été simplement ignoré dans la relation ci-dessus, car il n’est pas porteur d’unités.

Si le résultat de l’analyse dimensionnelle se révèle incohérent, nous sommes certains que l’équation est fausse. L’inverse est cependant faux. En effet, une analyse dimensionnelle d’une équation cohérente ne permet pas d’être sûr que l’équation en elle-même est correcte. Par exemple tous les facteurs numériques peuvent être complètement faux. Ou alors certaines quantités peuvent avoir les bonnes unités mais n’avoir aucun sens physique dans les cas étudiés.

Essayez de deviner les relations entre les quantités suivantes à partir de leurs dimensions

La vitesse d’un objet est donné par la fonction \[ v = a\cdot t^4 + b\cdot t - \frac{1}{4}c\cdot \sqrt{t}. \qquad{(1.3)}\] Quelles sont les unités de $a$, $b$, et $c$?

Les lois de Newton

Avant d’entrer à proprement parler dans ce chapitre, nous devons voir quelques notions mathématiques (ou les rappeler).

Vecteurs

Jusqu’ici dans le cours, nous avons vu des grandeurs appelées scalaires, c’est-à-dire des nombres, tels que la température, $T$, le temps, $t$, la masse, $m$, … Nous pouvons représenter ces nombres sur une droite infinie: les nombres réels. Nous pouvons les comparer (dire lequel est plus grand que l’autre), les additionner, les soustraire, les multiplier, les diviser, …

Pour ce chapitre, nous allons devoir étendre ce concept de scalaires pour pouvoir décrire des concepts plus complexes.

Motivation

Prenons l’exemple de la carte de la fig. 2.1. Si nous nous déplaçons à vol d’oiseau et ne connaissons que la distance parcourue, disons $60\ \mathrm{km}$, et un point de départ, ici G’nèèèève (de Dieu). Nous avons une infinités de destinations possibles (tous les point du cercle noir). Si en revanche nous ajoutons à la distance parcourue une direction (la direction de la flèche noire), nous avons une destination unique. Nous définissons le déplacement comme étant la combinaison de ces deux informations: une direction et une longueur (de façon plus formelle la longueur est appelée module). Si ne nous déplacions pas en ligne droite, nous ne pourrions pas décrire notre trajet en fonction du déplacement uniquement. En effet, le déplacement d’un objet tel que nous le définissons ici ne prend pas du tout en compte le chemin effectivement parcouru (le trait rouge sur la fig. 2.1), mais uniquement le point de départ et d’arrivée.

L’arithmétique des vecteurs

Le déplacement est un vecteur, noté $\vec s$. Il est représenté par une flèche (voir fig. 2.1) dont la longueur, norme ou module, est noté $||\vec s||$. Le même déplacement $\vec s$ peut être décomposé en deux autres déplacements (voir la fig. 2.2): d’abord en un déplacement $\vec s_d$ vers la droite, puis en un déplacement vers le haut $\vec s_h$. Il faut noter que cette décomposition peut s’effectuer dans un ordre différent: d’abord vers le haut puis vers la droite. Cette suite de déplacements définit l’addition de deux vecteurs \[\vec s=\vec s_d+\vec s_h=\vec s_h+\vec s_d.\qquad{(2.1)}\]

Géométriquement, la somme de deux vecteurs se représente toujours ainsi pour deux vecteurs quelconques \[\vec s_3=\vec s_1+\vec s_2.\qquad{(2.2)}\] La somme se représente en mettant bout à bout le vecteur $\vec s_1$ puis le vecteur $\vec s_2$. Cette représentation nous montre que la relation entre les normes est la suivante \[||\vec s_3||=||\vec s_1+\vec s_2||\leq||\vec s_1||+||\vec s_2||.\qquad{(2.3)}\] En d’autres termes la somme des longueurs de $\vec s_1$ et $\vec s_2$ et plus petite ou égale la longueur de la somme de $\vec s_1$ et $\vec s_2$⁴. On peut ainsi décomposer un déplacement en un nombre arbitraire de déplacements intermédiaires (voir la fig. 2.3). Il faut noter que l’ordre dans lequel la somme est effectuée n’a pas d’importance. On dit que la somme est commutative (comme pour les scalaires d’ailleurs). On constate d’ailleurs sur cette même figue que la longueur Une propriété de la somme de deux vecteurs qui est très importante c’est qu’elle est définie de telle façon à ce que le résultat soit toujours un vecteur.

Un cas particulier d’addition de vecteur est l’addition de vecteurs parallèles et antiparallèles. Dans le cas parallèle les vecteurs, $\vec s_1$ et $\vec s_2$ ont la même direction. Le vecteur $\vec s_3=\vec s_1+\vec s_2$ aura donc la même direction que $\vec s_1$ et $\vec s_2$ et sa norme sera la somme des normes de $\vec s_1$ et $\vec s_2$ (voir la fig. 2.4).

Dans le cas anti-parallèle les vecteurs $\vec s_1$ et $\vec s_2$ les vecteurs pointent dans des directions opposées. Le vecteur $\vec s_3=\vec s_1+\vec s_2$ aura donc soit la direction de $\vec s_1$ soit celle de $\vec s_2$ et sa norme sera la différence des normes de $\vec s_1$ et $\vec s_2$ (voir la fig. 2.5).

De façon très similaire à ce que nous faisons pour les scalaires (les nombres entiers, les rationnels et les réels) nous pouvons définir l’opposé d’un vecteur $\vec s$ et le noter $-\vec s$. Comme pour les scalaires, nous aimerions que le vecteur $-\vec s$ soit ``l’inverse’’ du vecteur $\vec s$ pour l’addition. On aimerait donc que la la somme $\vec s+(-\vec s)=\vec{0}$. En d’autres termes, le départ départ de $\vec s$ soir le même que le point d’arrivée après la somme (voir la fig. 2.6).

Une autre façon d’écrire cette somme est de faire comme pour les scalaires: \[\vec s+(-\vec s)=\vec s-\vec s=\vec{0}.\qquad{(2.4)}\] Cette façon de faire nous permet de définir la soustraction de deux vecteurs, $\vec s_1$ et $\vec s_2$ \[\vec s_1-\vec s_2=\vec s_1+(-\vec s_2).\qquad{(2.5)}\] Comme on peut le voir sur la fig. 2.7 la soustraction de deux vecteurs consiste, en fait, à d’abord prendre prendre l’inverse du vecteur soustrait, $-\vec s_2$ et de l’ajouter au premier vecteur.

Comme l’addition de deux vecteur est commutative, la soustraction peut également s’écrire dans un ordre différent (attention elle n’est pas commutative) \[\vec s_3=\vec s_1-\vec s_2=\vec s_1+(-\vec s_2)=-\vec s_2+\vec s_1.\qquad{(2.6)}\]

Un autre opération primordiale pour les vecteur est le produit avec un scalaire. Si nous avons un nombre $\alpha$, et un vecteur $\vec s_1$, nous pouvons définir le produit \[\vec s_2=\alpha\cdot\vec s_1.\qquad{(2.7)}\] Si $\alpha>0$, l’effet de cette multiplication est de modifier la norme de $\vec s_1$ proportionnellement à $\alpha$, mais d’en laisser la direction inchangée (voir la fig. 2.8 la ligne du haut): le vecteur $\vec s_2$ est parallèle avec le vecteur $\vec s_1$. Lorsque $\alpha<0$ on change toujours la norme proportionnellement à $\alpha$, mais on change également la direction du vecteur (voir la fig. 2.8 la ligne du bas): le vecteur $\vec s_2$ est anti-parallèle avec le vecteur $\vec s_1$. Il y a deux cas particuliers:

Une propriété du produit d’un vecteur avec un scalaire est qu’elle est définie de telle façon à ce que le résultat soit toujours un vecteur. On peut à présent comme pour le produit entre scalaire voir les propriétés de distributivité. Soient $\alpha_1$, $\alpha_2$ deux scalaires, et $\vec s_1$, $\vec s_2$ deux vecteurs \[\begin{aligned} \alpha_1\cdot(\vec s_1+\vec s_2)=\alpha_1\cdot\vec s_1+\alpha_1\cdot\vec s_2,\\ (\alpha_1+\alpha_2)\cdot\vec s_1=\alpha_1\cdot\vec s_1+\alpha_2\cdot\vec s_1.\end{aligned}\qquad{(2.8)}\] Pour la deuxième propriété on peut voir un exemple sur la fig. 2.9.

Le produit avec un scalaire ainsi définit nous permet de définir le vecteur unitaire. Le vecteur unitaire d’un vecteur $\vec s$ se définit par \[\vec{n}=\frac{\vec s}{||\vec s||}.\qquad{(2.9)}\] Ce vecteur comme son nom l’indique a une longueur (norme) de un \[||\vec{n}||=\left|\left|\frac{\vec s}{||\vec s||}\right|\right|=\frac{||\vec s||}{||\vec s||}=1,\qquad{(2.10)}\] et la même direction que $\vec s$. Le vecteur $\vec s$ peut donc s’écrire à l’aide du vecteur unitaire $\vec{n}$ comme \[\vec s=||\vec s||\cdot \vec{n}.\qquad{(2.11)}\]

Systèmes de coordonnées

Depuis le début de ce chapitre nous avons vu des règles très générales pour représenter les vecteurs et en faire des sommes et des multiplications avec des scalaires. Il nous reste à trouver un moyen de les représenter numériquement.

Le moyen le plus commun de se représenter un vecteur dans le plan est de passer par les coordonnées cartésiennes (voir la fig. 2.10).

Le vecteur est $\vec s$ est donné par \[\vec s=\vec s_x+\vec s_y.\qquad{(2.12)}\] En définissant deux vecteurs unitaires particuliers qui sont alignés avec l’axe horizontal et vertical respectivement (voir fig. 2.11) \[\vec e_x=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_y=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}.\qquad{(2.13)}\]

En utilisant les vecteurs unitaires, $\vec e_x$ et $\vec e_y$, les vecteurs $\vec s_x$ et $\vec s_y$ peuvent s’écrire $\vec s_x=\vec e_x\cdot s_x$ et $\vec s_y=\vec e_y\cdot s_y$, où $\vec e_x$ et $\vec e_y$ sont les vecteurs unitaires dans la direction horizontale et verticale respectivement (voir éq. 2.13).

La norme des composantes de $\vec s_x$ et $\vec s_y$ peut se calculer à l’aide de la trigonométrie. On a donc \[\begin{aligned} s_x&=||\vec s_x||=||\vec s||\cos(\theta),\\ s_y&=||\vec s_y||=||\vec s||\sin(\theta), \end{aligned}\qquad{(2.14)}\] où $\theta$ est l’angle entre l’axe horizontal et le vecteur $\vec s$ et où on note les coordonnées cartésiennes de $\vec s$, $s_x$ et $s_y$. Le vecteur $\vec s$ peut donc se représenter uniquement avec ces deux nombres $s_x$ et $s_y$ sous entendu que la première coordonnée est le long de l’axe horizontal et la seconde selon l’axe vertical.

Maintenant que nous avons défini les composantes $s_x$ et $s_y$, nous pouvons additionner les vecteurs en coordonnées cartésiennes. Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et dont la somme est $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$, les coordonnées de $\vec{w}$ sont données par \[\begin{aligned} w_x&=u_x+v_x,\\ w_y&=u_y+v_y. \end{aligned}\qquad{(2.15)}\] Nous pouvons assez facilement nous en convaincre à l’aide de la fig. 2.12. De façon similaire, nous pouvons calculer le produit entre un scalaire et un vecteur. Nous avons que $\vec{u}=\alpha\cdot \vec{v}$ est donné par \[\begin{aligned} u_x&=\alpha\cdot v_x,\\ u_y&=\alpha\cdot v_y. \end{aligned}\qquad{(2.16)}\]

La notation pour la plus compact pour noter les composantes d’un vecteur \[\vec s=\begin{pmatrix}s_x \\ s_y \end{pmatrix}.\qquad{(2.17)}\] Avec la représentation en composantes cartésiennes, il est aisé de calculer la longueur d’un vecteur $s=||\vec s||$ à l’aide du théorème de Pythagore \[s=\sqrt{s_x^2+s_y^2}.\qquad{(2.18)}\]

De l’éq. 2.14, on voit qu’on pourrait aussi utiliser un autre système de coordonnées. En utilisant le couple formé par l’angle $\theta$ et la longueur $s$. On appelle cette représentation les coordonnée polaires (voir la fig. 2.13).

Soit un vecteur $\vec s$ dont les coordonnées cartésiennes sont \[\vec s=\begin{pmatrix}s_x \\ s_y \end{pmatrix}.\qquad{(2.20)}\] Ecrire la transformation qu’il faut effectuer pour avoir les coordonnées polaires $\vec s=\begin{pmatrix}s \\ \theta \end{pmatrix}_\mathrm{polaires}$. Calculer $\theta$ et $s$ pour les vecteurs $\vec s=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec s=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$ en coordonnées cartésiennes.

Le produit scalaire

Jusqu’ici nous avons vu comment additionner les vecteurs et les multiplier par des scalaires. Nous n’avons cependant pas encore vu un moyen pour les multiplier entre eux. Une façon de définir un tel produit, est le produit scalaire. Le produit scalaire entre deux vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ se calcule comme \[\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta).\qquad{(2.21)}\] Le produit scalaire s’interprète donc comme le produit entre la norme de $\vec{u}$ et la projection de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$ et vice versa (voir la fig. 2.14).

Les propriétés du cosinus nous disent que si les deux vecteurs forment un angle de $90^\circ$ entre eux (ou $\pi/2$ en radians) le produit scalaire est nul \[\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec u||\cdot ||\vec v||\cdot\cos\left(\pi/2\right)=0.\qquad{(2.22)}\] Ces vecteurs sont dit orthogonaux ou normaux (voir fig. 2.15). Les vecteurs $\vec e_x$ et $\vec e_y$ sont orthogonaux \[\vec e_x\cdot\vec e_y=||(1,0)||\cdot||(0,1)||\cdot\cos(\pi/2)=1\cdot 1\cdot 0=0.\qquad{(2.23)}\]

En revanche si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont parallèles ou anti-parallèles le produit scalaire est le produit des normes de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec un signe négatif si les vecteurs sont anti-parallèles) \[\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos{0}=||\vec u||\cdot||\vec v||\cdot1=||\vec u||\cdot||\vec v||.\qquad{(2.24)}\] Un cas particulier est le produit scalaire d’un vecteur $\vec{v}$ avec lui-même \[\vec{v}\cdot\vec{v}=||\vec v||\cdot ||\vec v||\cdot\cos{0}=||\vec v||^2.\qquad{(2.25)}\]

De cette définition, il est aisé de voir que le produit scalaire est commutatif \[\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{v}||\cdot||\vec{u}||\cdot\cos(\theta)=\vec{v}\cdot\vec{u}.\qquad{(2.26)}\]

Montrer que le produit scalaire a les propriétés suivantes. Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ trois vecteurs et soit $\alpha$ un scalaire: \[\begin{aligned} \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w},\\ \alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})=(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}). \end{aligned}\qquad{(2.27)}\]

Il est important de noter que le produit scalaire prend deux vecteurs et les transforme en un scalaire (un nombre).

Il existe une définition alternative pour le produit scalaire qui vous sera très utile pour son implémentation informatique \[ \vec u \cdot \vec v =u_x\cdot v_x + u_y\cdot v_y. \qquad{(2.28)}\]

Écrire une librairie de manipulation de vecteur en deux dimensions (par groupe de 5).

La force et la première loi de Newton

Le concept de force est intimement lié avec le concept de mouvement. Pourquoi un objet en mouvement change de direction? Pourquoi un objet accélère ou décélère? Pourquoi un objet arrêté se met en mouvement?

Intuitivement, une force est toute traction ou poussée exercée sur un objet. Quand vous faites vos courses et que vous mettez en mouvement votre chariot en le poussant, vous exercez une force dessus. Pour le mettre en mouvement vous devez combattre la force de frottement (une force dite de contact, car elle agit lors du contact de deux objet: ici le chariot et le sol). Quand vous soulevez votre pack de 6 bières du sol également. Cette fois vous devez compenser la force de gravité (qui n’est pas une force de contact).

Une force se mesure à l’aide d’un dynamomètre et ses unités sont les Newtons, notés $[\mathrm{N}]$.

De façon générale, lorsque vous devez mettre en mouvement un objet, vous faites passer sa vitesse de zéro à une vitesse non-nulle: vous produisez une accélération. De même lorsqu’un objet est en mouvement et que vous essayez de changer sa vitesse, que ce soit en norme ou en direction, vous devez à nouveau lui appliquer une force. Le fait que la modification de la vitesse (l’accélération) ait une norme et une direction, nous montre que la force est une quantité vectorielle. Nous pourrons donc utiliser toutes les méthodes de calcul vues au chapitre précédent.

En général il n’y a pas qu’une seule force qui peut s’appliquer sur un objet. Sur la fig. 2.16 on a une situation statique. Une boîte est posée sur le sol et ne bouge pas. Comme vous avez pu vous en rendre compte dans votre vie de tous les jours, soulever ou porter une boîte (même légère) vous demande un certain effort, car elle pèse un certain poids (une force l’attire vers le sol). Lorsque la boîte est posée sur le sol, elle n’a pas soudainement perdu son poids et la force l’attirant vers le sol existe toujours. Le fait qu’elle ne bouge pas est dû au fait que le sol exerce une force égale en norme et opposée en direction sur la boîte. La somme des deux forces étant nulle, la boîte ne subit aucune accélération.

Il y a deux concepts fondamentaux de ce que nous venons de discuter. Le premier est que plusieurs forces peuvent s’exercer sur un objet. La force nette s’appliquant ou force résultante, $\vec{F}_\mathrm{res}$ n’est autre que la somme de toutes ces forces. Si un objet subit l’action de $N$ forces, $\vec F_1$, $\vec F_2$, …, $\vec F_N$, alors la force résultante s’écrira \[\vec F_\mathrm{res}=\vec F_1+\vec F_2+...+\vec F_N\qquad{(2.29)}\].

De ce que nous venons de discuter, nous déduisons qu’une force est présente que lorsqu’on modifie la vitesse d’un objet, en d’autres termes qu’on modifie son accélération. Il est important de noter que cette modification est une quantité vectorielle et qu’on peut modifier non seulement la norme, mais également la direction de la vitesse.

Cette constatation est la première loi de Newton, ou loi d’inertie, qui peut s’énoncer ainsi:

Tout corps reste immobile ou conserve un mouvement rectiligne uniforme, tant que la somme des forces agissant sur lui sont nulles.

En d’autres termes \[\vec{F}_1+\vec{F}_2+...\vec{F}_N=\sum_{i=0}^N\vec{F}_i=0.\qquad{(2.30)}\]

Lorsque vous êtes dans le bus et que soudainement le chauffeur freine, vous êtes projetés vers l’avant. Quelle force est responsable de cette projection?

Lorsque le bus freine, vous avez tendance à vouloir continuer de vous déplacer en mouvement rectiligne uniforme. Ainsi, vous continuez votre route car aucune force n’est là pour vous retenir.

Dans ce chapitre nous nous intéressons à la statique. Les objets sont tous par définition dans un état d’équilibre et la somme de toutes les forces agissant sur un objet seront nulles. En d’autres terme la force résultante est toujours nulle \[\vec F_\mathrm{res}=0.\qquad{(2.31)}\]

Soient deux personnes tirant sur une corde (voir fig. 2.17). La personne en rouge applique une force $\vec F_2$ sur la corde et la personne en bleu applique une force $\vec F_1$ lorsque le système est à l’équilibre. Écrire la relation entre la force $\vec F_1$ et la force $\vec F_2$. Si la force $\vec F_1=\begin{pmatrix}10 \\ 0 \end{pmatrix}\ \mathrm{N}$, quelle sera la force $\vec F_2$?

Comme la force comme le système est à l’équilibre cela signifie que la force résultante est nulle. On a donc \[\vec F_\mathrm{ref}=\vec F_1+\vec F_2=0.\qquad{(2.32)}\] On en déduit que \[\vec F_1=-\vec F_2.\qquad{(2.33)}\]

La situation d’équilibre ou non d’un système dépend évidemment des vecteurs de force qui y sont appliqués, mais également des points d’action: l’endroit où ces forces sont appliquées. Si nous considérons les deux situations de la fig. 2.18. Dans les deux cas nous avons une boîte qui ne bouge pas, puis nous appliquons les forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$. Nous supposons que $\vec F_1=-\vec F_2$. Nous constatons que dans le premier cas, l’objet ne se met pas en mouvement (il reste dans un état d’équilibre car les forces s’annulent), alors que dans le deuxième, la boîte se met à tourner. La seule différence est le point d’application. En passant de l’application des forces des points $A$ et $B$, aux points d’application $C$ et $D$ nous avons changé l’état d’équilibre. L’équilibre dépend donc du point d’application des forces.

Afin de déterminer si nous avons une situation d’équilibre il est utile définir la ligne d’action d’une force. La ligne d’action d’une force est la droite qui a la même direction que le vecteur de la force et qui passe par le point d’application de la force. Une illustration se trouve sur la fig. 2.19, où on voit les lignes d’actions pour les forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$ (traitillés rouges et verts respectivement) dans le cas où elles sont alignées (haut) et où elles ne le sont pas (bas). Comme discuté précédemment lorsque les lignes d’action sont alignées, l’état d’équilibre est atteint et la boîte ne bougera pas. Dans le cas où les lignes d’action ne sont pas alignées, la boîte se mettra à tourner.

On constate donc que pour se trouver dans un état d’équilibre, un système doit avoir non seulement des vecteurs de forces opposés, mais également agissant sur la même ligne d’action.

Afin de simplifier, nous considérons ici les objet comme n’étant que des points matériels. Comme les objets n’ont aucune étendue (ils sont de taille nulle), la condition d’équilibre s’écrit beaucoup plus simplement \[\sum_{i=1}^N\vec F_i=\vec 0,\qquad{(2.34)}\] où $\vec F_i$ pour $i=1..N$ est l’ensemble des forces agissant sur le point matériel. En d’autre termes, la force résultante sur le point doit être nulle.

Soit la situation comme dans la fig. 2.20. La norme des trois forces vaut respectivement $F_1=500\ \mathrm{N}$, $F_2=707\ \mathrm{N}$, et $F_3=966\ \mathrm{N}$. La situation est-elle en équilibre?

Pour savoir si le système est à l’équilibre il faut savoir si la somme des trois force est nulle. Pour ce faire, on décompose les forces selon leur composantes cartésiennes \[ \begin{aligned} \vec F_1&=F_1\cdot\begin{pmatrix}\cos(45^\circ) \\ \sin(45^\circ) \end{pmatrix}=F_1\cdot\begin{pmatrix}\cos(\pi/4) \\ \sin(\pi/4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}354 \\ 354 \end{pmatrix}\ \mathrm{N}\\ \vec F_2&=F_2\cdot\begin{pmatrix}\cos(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) \end{pmatrix}=F_2\cdot\begin{pmatrix}\cos(2\pi/3) \\ \sin(2\pi/3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-354 \\ 612 \end{pmatrix}\ \mathrm{N}\\ \vec F_3&=F_3\cdot\begin{pmatrix}\cos(270^\circ) \\ \sin(270^\circ) \end{pmatrix}=F_3\cdot\begin{pmatrix}\cos(3\pi/2) \\ \sin(3\pi/2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ -966 \end{pmatrix}\ \mathrm{N}\\ \end{aligned} \qquad{(2.35)}\] On peut à présent calculer la force résultante \[\vec{F}_\mathrm{res}=\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3=\begin{pmatrix}354-354+0 \\ 354+612-966 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}\ \mathrm{N}.\qquad{(2.36)}\] On a donc que le système est en équilibre car la force résultante est nulle.

Un exercice comme le précédent, est en général une simplification d’un situation bien plus complexe. On peut imaginer la situation comme sur la fig. 2.21, où il s’agit de calculer la force que doivent appliquer les deux masses sur les côtés sur leur corde respective pour que la caisse soit à l’équilibre, sachant que la caisse exercice une force de $800\ \mathrm{N}$.

Pour résoudre cette exercice il faut se rendre compte que la force se transmet le long des cordes. On a donc que le système peut se mettre dans une situation équivalente à celle de la fig. 2.20. On a les trois forces qui s’appliquent à l’endroit où se rencontrent les trois cordes: au point $C$. On peut se ramener à la situation de la fig. 2.22.

Notre système est à l’équilibre si \[\vec F_{CA}+\vec F_{CB}+\vec F_{CD}=0.\qquad{(2.37)}\] Nous pouvons donc écrire \[ \begin{aligned} &F_{CA}\cdot\begin{pmatrix}\cos(130^\circ) \\ \sin(130^\circ) \end{pmatrix}+F_{CB}\cdot\begin{pmatrix}\cos(30^\circ) \\ \sin(30^\circ) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ -800 \end{pmatrix}=0,\\ &F_{CA}\cdot\begin{pmatrix}-0.643 \\ 0.766 \end{pmatrix}+F_{CB}\cdot\begin{pmatrix}0.866 \\ 0.5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ -800 \end{pmatrix}=0. \end{aligned} \qquad{(2.38)}\] En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, on obtient \[F_{CB}\cong522\ \mathrm{N},\quad F_{CA}\cong 704\ \mathrm{N}.\qquad{(2.39)}\]

La deuxième loi de Newton

La masse

Pour la suite du chapitre, il est important de définir le concept de masse. La masse d’un objet peut être vue comme la “quantité de matière” qu’il contient. Cette définition, bien que facilement compréhensible, n’est pas très précise.

En fait la masse peut être vue comme un mesure de l’inertie d’un objet. C’est-à-dire que plus la masse d’un objet sera grande, plus la force nécessaire pour changer sa vitesse (lui donner une certaine accélération) sera grande. Quand l’objet est au repose il sera difficile de le mettre en mouvement. A l’inverse, plus sa vitesse sera grande, plus il sera difficile de l’arrêter.

Comme vous le savez sans doute, la masse est mesurée en kilogrammes, ou $\mathrm{kg}$, en SI.

Une voiture a une plus grande inertie qu’un balle de tennis de table: essayez de mettre en mouvement une voiture avec un raquette de ping-pong en tapant dessus, la voiture risque de ne pas bouger beaucoup. La masse de la voiture est donc beaucoup plus élevée que celle de la balle.

Il est très important de ne pas confondre les concepts de masse et de poids. Comme nous venons de le discuter la masse est la quantité d’inertie d’un objet. Le poids est la force exercée par la gravité sur l’objet. Afin d’illustrer la différence, prenons l’exemple des astronaute qui ont marché sur la lune. Vous avez sans doute tou·te·s vu·e·s la vidéo où ils font des sauts avec une grande facilité en portant une combinaison dont la masse est de près de $100\ \mathrm{kg}$ apparemment sans effort. Cela serait totalement impossible sur terre. Leur masse est pourtant la même sur terre ou sur la lune. La différence se situe au niveau de la force qu’exercent la lune ou la terre sur un astronaute. En fait sur la lune la force gravitationnelle exercée sur un objet (son poids) est environ six fois plus faible que sur la terre.

Et cette deuxième loi alors?

La première loi de Newton nous dit qu’en absence de force résultante sur un objet, il restera au repos s’il était au repos, ou s’il était en mouvement il continuera son mouvement avec la même vitesse en ligne droite. En revanche, cela ne nous dit rien sur ce qui se passe quand une force est exercée sur l’objet.

A l’inverse, une force résultante exercée sur un objet va modifier sa vitesse dans la direction de la force: si la force est dans la direction du mouvement elle va changer la norme de la vitesse, si elle est perpendiculaire au mouvement elle va modifier uniquement sa direction. Comme un changement de vitesse est une accélération, nous pouvons dire que l’effet d’une force sur un objet est de causer une accélération. Il est très important de réaliser qu’une accélération, notée $\vec a$, est une quantité vectorielle et n’est pas uniquement la modification de la norme de la vitesse, mais représente toute modification du vecteur vitesse au cours du temps \[\vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t},\qquad{(2.40)}\] où $\Delta \vec v=\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t)$ et $\Delta t$ est un intervalle de temps (voir la fig. 2.23).

Comme on peut le voir sur la fig. 2.23, bien que la vitesse ait la même norme (je vous le promets), il y a une accélération non nulle, car la vitesse a changé de direction au cours du temps. On peut en déduire qu’une force est appliquée sur l’objet.

Maintenant que nous savons que force et accélération sont des quantités reliées entre elles. Nous devons encore déterminer comment.

Imaginons l’expérience suivante. Soit un chariot à roulettes posé sur un plan horizontal (négligeons les frottement). On tire le chariot avec une force horizontale et constante $\vec F_1$. On calcule son accélération en mesurant le temps, $t_1$, qu’il faut au chariot pour atteindre une certaine vitesse $\vec v$ (voir la fig. 2.24) \[ \vec a_1=\frac{\vec v }{t_1}. \qquad{(2.41)}\] On répète l’expérience en appliquant une force $\vec F_2=2\cdot \vec F_1$, $\vec F_3=3\cdot \vec F_1$, etc.

Les résultats qu’on obtiendrait sont schématisés sur la fig. 2.25. On voit que l’accélération est proportionnelle à la force: quand on double la force, on double l’accélération, quand on triple la force, on triple l’accélération, …

Il nous manque encore la constante de proportionnalité. Comme nous l’avons discuté tout à l’heure la masse entre également en jeu. Quand on applique la même force sur deux objets, le plus léger accélérera plus que le plus lourd. Newton énonça sa deuxième loi comme suit:

L’accélération d’un objet est proportionnelle à la force résultante qui lui est appliquée et inversement proportionnelle à sa masse. La direction de l’accélération est la direction de la force.

On peut écrire cette loi sous forme mathématique comme \[\vec a=\frac{\vec F_\mathrm{res}}{m}=\frac{\sum_{i=1}^N\vec F_i}{m},\qquad{(2.42)}\] où $\vec a$ est le vecteur accélération, $\vec F_\mathrm{res}$ la force résultante appliquée sur l’objet de masse $m$. On peut également écrire cette relation sous la forme plus familière en multipliant des deux côtés par $m$ \[\vec F_\mathrm{res}=m\cdot \vec a.\qquad{(2.43)}\]

Si nous voulons l’écrire en composantes et en deux dimensions, l’équation ci-dessus devient \[\begin{pmatrix}F_{x,\mathrm{res}} \\ F_{y,\mathrm{res}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m\cdot a_x \\ m\cdot a_y \end{pmatrix},\qquad{(2.44)}\] ou encore \[\begin{aligned} F_{x,\mathrm{res}}&=m\cdot a_x,\\ F_{y,\mathrm{res}}&=m\cdot a_y. \end{aligned}\qquad{(2.45)}\] L’accélération ayant des unités de $[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]$ et la masse des $[\mathrm{kg}]$, les unités de la force sont $[\mathrm{N}]=[\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]$. On a donc qu’un Newton est la force qu’il faut appliquer sur un objet d’un kilogramme pour l’accélérer d’un mètre par seconde au carré.

Quelle est la force requise pour accélérer une voiture de $1000\ \mathrm{kg}$ à $5\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ et une balle de $100\ \mathrm{g}$ à la même accélération.

De la seconde loi de Newton, on a que \[\vec F_\mathrm{res}=m\cdot\vec a.\qquad{(2.46)}\] Comme la force agit dans la direction du mouvement, on peut considérer le problème comme unidimensionnel et donc ne s’intéresser qu’aux normes des vecteurs ci-dessus. Cette équation se réécrit donc \[F_\mathrm{res}=m\cdot a.\qquad{(2.47)}\] Nous connaissaons dans les deux cas $a=5\ \mathrm{m}/s^2$ et $m_\mathrm{voiture}=1000\ \mathrm{kg}$ et $m_{balle}=0.1\ \mathrm{kg}$. On a donc \[ \begin{aligned} F_\mathrm{voiture}&=1000\cdot 5=5000\ \mathrm{N},\\ F_\mathrm{balle}&=0.1\cdot 5=0.5\ \mathrm{N}. \end{aligned} \qquad{(2.48)}\]

Soit une voiture de $1000\ \mathrm{kg}$ qui roule à $72\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$. Conducteur freine pendant $5\ \mathrm{s}$ avec une force constante pour l’arrêter. Calculer la force nécessaire pour arrêter la voiture.

La force est dans la même direction que le mouvement de la voiture. On peut donc considérer le problème comme unidimensionnel.

La voiture roule à une vitesse de $v=72\ \mathrm{km}/h=20\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$. La voiture passe de $20\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $0\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $5\ \mathrm{s}$, c’est-à-dire que son accélération est de \[a=\frac{0-20}{5}=-4\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\qquad{(2.49)}\] La force est donc de \[F=m\cdot a=1000\cdot (-4)=-4000\ \mathrm{N}.\qquad{(2.50)}\] La force est négative, car elle est dans le sens opposé au mouvement de la voiture.

La troisième loi de Newton

Une force qu’on ressent toujours dans notre vie de tous les jours est la force de gravitation. Dans ce cas là, l’accélération est l’accélération gravitationnelle, notée $\vec g$ dont la norme à la surface de la terre est de $9.81\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ et qui est toujours dirigée vers le centre de la terre. Bien que cette force soit toujours présente, nous ne ressentons pas d’accélération lorsque nous sommes par exemples assis sur une chaise.

Notre corps est soumis à la gravité. Il transmet cette force à la chaise sur laquelle nous sommes assis. En réaction, la chaise exerce une force égale en norme et opposée en direction à la force de gravité.

Ce comportement se généralise à toute force, même lorsqu’une accélération est présente. Lorsqu’on plante un clou avec un marteau. La force que le marteau applique sur le clou, le marteau ressent une force égale en norme et opposée en direction appliquée par le clou.

Lorsqu’un objet exerce une force sur un second objet, le second objet exerce une force égale en norme et de opposée en direction sur le premier.

Si les objets sont notés $A$ et $B$, on a que la force de $A$ sur $B$, notée $\vec F_{AB}$ et celle de $B$ sur $A$, $\vec F_{BA}$ sont reliées par la relation \[\vec F_{AB}=-\vec F_{BA}.\qquad{(2.51)}\]

La troisième loi de Newton est aussi connue sous le nom du principe d’action-réaction.

Cette loi peut sembler contre intuitive dans un premier temps, mais en fait vous pouvez l’observer tous les jours. Lorsque vous appuyez sur une table avec votre main, vous voyez votre main se déformer, car la table exerce une force sur votre main. Plus vous appuierez fort, plus la déformation sera grande.

Lors d’un saut en chute libre, la force de gravité de la terre (qui est responsable de la chute libre) et la force de l’homme sur la terre sont égales et opposées. Dès lors, pourquoi est-ce l’homme qui tombe et non la terre qui se rapproche de l’homme?

En fait bien que la force soit égale et opposée, les objets, et en particulier leur masse, sont différents. Dans le cas de la chute libre, un homme pèse environ $80\ \mathrm{kg}$, alors que la terre a une masse d’environ $6\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}$. La force de gravité se calcule comme \[\vec F_g=m\cdot \vec g,\qquad{(2.52)}\] où $\vec g$ est le vecteur d’accélération gravitationnelle, avec la norme de $\vec g$ de la terre qui est de \[g=9.81\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\qquad{(2.53)}\] On a donc que la norme de force gravitationnelle que ressent un humain en chute libre sur terre est de \[F_g=80\cdot 9.81\cong 800\ \mathrm{N}.\qquad{(2.54)}\] Cette force est égale et opposée à celle que ressent la terre. On peut donc calculer l’accélération résultant de cette force sur la terre \[a_\mathrm{terre}=\frac{F_g}{m_\mathrm{terre}}=\frac{800}{6\cdot 10^{24}}\cong 1.3\cdot 10^{-22}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\qquad{(2.55)}\] L’accélération de la terre est donc tellement faible qu’elle est complètement imperceptible.

Il existe beaucoup d’exemple où ce principe “d’action-réaction” est très utile.

Une application très spectaculaire est la propulsion des fusées. Lors de son décollage les moteurs de la fusée éjectent une grande quantité de gaz: ils leur appliquent une force verticale dirigée vers l’arrière de la fusée (voir la fig. 2.26). Les gaz en contre-partie exercent une force dirigée vers l’avant fusée. C’est cette force qui est responsable de la propulsion de la fusée, et non une éventuelle force que la fusée exercerait sur le sol ou sur l’atmosphère (via les gaz éjectés). Ce processus est tout à fait similaire à ce qui se passe quand un ballon se dégonfle.

Lorsque nous nous déplaçons à pieds c’est également la troisième loi de Newton qui fait que nous avançons. Avec nos pieds nous poussons sur le sol vers l’arrière. En réaction le sol pousse vers l’avant sur nos pieds, causant une accélération nette vers l’avant (voir la fig. 2.27).

Le même principe s’applique à plus ou moins tous les modes de propulsion: le patin à glaces, la voiture, etc. Il est donc très important de se souvenir de quel objet est originaire la force et à quel objet elle s’applique. Comme noté précédemment une force s’appliquant d’un objet $A$ sur un objet $B$ sera noté $F_{AB}$.

Reprenons l’exemple de la marche. D’après la troisième loi de Newton $\vec F_{PS}=-\vec F_{SP}$. Hors on sait que \[\vec F_\mathrm{res}=\sum_i \vec F_i.\qquad{(2.56)}\] On aurait tendance à dire que la force résultante sur le marcheur est \[\vec F_{PS}+\vec F_{SP}=0.\qquad{(2.57)}\] Ce raisonnement est évidemment faux (on sait d’expérience que lorsque nous marchons nous avançons…). EN fait pour calculer la force résultante sur un objet, il faut faire la somme des force agissant sur l’objet et ne pas compter celles qu’il applique sur d’autres. Dans le cas du marcheur, on a donc que \[\vec F_\mathrm{res}=\vec F_{SP}.\qquad{(2.58)}\]

Soit un tonneau posé sur le sol. On aimerait savoir quelle force une personne doit appliquer sur le tonneau pour le déplacer en le poussant (voir fig. 2.28)?

Applications des lois de Newton

Dans cette section, nous allons mettre en pratique les lois de Newton que nous venons de voir.

Soit une boîte de masse $m=1\ \mathrm{kg}$ posée sur une table et ne bougeant pas.

Une personne se trouve dans un ascenseur à l’arrêt. Elle est debout sur une balance indiquant qu’elle pèse $70\ \mathrm{kg}$. L’ascenseur démarre et commence à monter avec une accélération constante de $2\ \mathrm{m}/s^2$ pendant une seconde puis continue à vitesse constante.

Jusqu’ici, nous ne nous sommes intéressés principalement qu’à des problèmes unidimensionnels impliquant les lois de Newton ce qui simplifie beaucoup leur traitement mathématique.

Considérons une boîte de masse $m=10\ \mathrm{kg}$ posée sur le sol sur laquelle une corde est attachée. On essaie de tirer la boîte avec une force $\vec F$ à l’aide de la corde qui formera un angle $\theta=30^\circ$ avec le sol (voir la fig. 2.30). De plus, il existe une force de frottement horizontale qui s’oppose au mouvement de la boîte, $\vec F_\mathrm{frot}$.

Le bilan des force présentes peut s’écrire \[\vec F_\mathrm{res}=\vec F+\vec F_\mathrm{frot}+\vec F_g.\qquad{(2.66)}\] Les composantes de la force $\vec F$ peuvent s’écrire \[\vec F=\begin{pmatrix}F\cos(\theta) \\ F\sin(\theta) \end{pmatrix}.\qquad{(2.67)}\]

Problèmes couplés

Lorsque plus d’un corps est présent dans un problème, on a à faire à un système couplé. Il s’agira alors en général de résoudre un système d’équations. Nous allons illustrer ce genre de situations avec l’exemple suivant

Soient deux boites, notées $A$ et $B$, reliées par une corde, comme dans la situation de la fig. 2.31. Les boites ont des masses respectives de $m_A=10\ \mathrm{kg}$ et $m_B=20\ \mathrm{kg}$. Une force horizontale est appliquée sur la boite $A$, $F_h=50\ \mathrm{N}$.

Lorsque nous tirons sur la boite $A$ une force de tension, $\vec F_t$, se crée dans la corde reliant les deux boites. Cette force sera dirigée vers la droite pour la boite $B$ et vers la gauche pour la boite $A$. Selon le principe d’action-réaction, ces deux forces sont égales en norme et opposée en direction. Le mouvement étant uniquement horizontal, les forces normales (les force de gravité et les réactions de la table: $\vec F_{g,A}, \vec F_{NA}, \vec F_{g,B}, \vec F_{NB}$) n’entrent pas en ligne de compte pour cet exercice.

Forces de frottement

Dans l’Exemple 6, nous avons considéré une force de frottement agissant sur une boîte alors que nous l’avons négligé dans tous autres exemples. Dans la plupart des situation les corps sont soumis à des forces de frottement. Il existe beaucoup de forces de frottement de nature différentes et nous allons en discuter quelques une ici.

Force de frottement cinétique

Ici, nous allons nous concentrer d’abord sur les forces de frottement cinétiques qui s’applique sur les objets glissant sur une surface. Elles sont dues à la nature rugueuses de la surface de contact entre un objet et une surface.

Lorsqu’un objet glisse sur une surface, la force de frottement cinétique agit dans la direction opposée au mouvement. La norme de la force dépend de la nature de la surface et de l’objet. Elle dépend de la force normale de la surface sur l’objet (également appelé poids apparent de l’objet). Lorsqu’on glisse un objet sur une surface il y a donc 4 forces en jeu (voir la fig. 2.32). Le poids de l’objet, $\vec F_g$, la force avec laquelle on glisse l’objet, $\vec F$, le poids apparent, $\vec F_N$, et la force de frottement $\vec F_\mathrm{frot}$. Dans le modèle que nous considérons ici la force de frottement ne dépend pas de la surface de contact entre l’objet et le sol.

Une relation phénoménologique relie la norme de $F_N$ et $F_\mathrm{frot}$ \[F_\mathrm{frot}=\mu_k F_N,\qquad{(2.75)}\] où $\mu_k$ est le coefficient de frottement cinétique⁵.

Il est important de noter que cette équation n’est pas vectorielle, car la force de frottement et la force normale sont perpendiculaire l’une avec l’autre.

Le coefficient de frottement dépend évidemment des deux surfaces qui sont en contact, si elles sont mouillées, si elles ont été polies ou non, etc. Mais dans ce contexte $\mu_k$ ne dépend pas de la vitesse de l’objet, ni de la surface de contact.

Force de frottement statique

Nous avons d’abord considéré la force de frottement cinétique entre un objet en mouvement et une surface. Lorsque l’objet n’est pas en mouvement cette force est différente et s’appelle la force de frottement statique. Comme l’objet n’est pas en mouvement il ne peut y avoir de force de frottement cinétique. Lorsque vous essayez de déplacer une grosse armoire mais quelle refuse de bouger alors que vous poussez dessus, cela signifie qu’une autre force doit être présente qui empêche le mouvement. Lorsque finalement, vous appliquez une force suffisante, vous arrivez à débloquer la situation: à vaincre la force de frottement statique maximale et l’armoire se met à glisser.

La force de frottement statique maximale s’exprime de façon similaire à la force de frottement cinétique \[F_\mathrm{frot,max}=\mu_s\cdot F_N,\qquad{(2.76)}\] où $\mu_s$ est le coefficient de frottement statique⁶. On a donc que la force de frottement statique est \[F_\mathrm{frot}\leq\mu_s\cdot F_N.\qquad{(2.77)}\]

Vous avez sans doute remarqué qu’une fois que nous avons réussi à mettre en mouvement la fameuse grosse armoire, il est plus simple de continuer à la faire glisser. Ceci est dû en général au fait que le coefficient de frottement statique est plus grand que le coefficient de frottement cinétique.

Si on se place dans la situation de la fig. 2.33 et qu’on fait varier la force $\vec F$ avec laquelle on essaie de déplacer la boîte et qu’on mesure la force de frottement, il y a 2 comportement différents (voir la fig. 2.34). Dans un premier temps quand $\vec F<\vec F_\mathrm{frot,max}$, on a que $\vec F=-\vec F_\mathrm{frot}$. Puis une fois le seuil de la force de frottement statique maximale dépassé, l’objet se met en mouvement, et la force la force de frottement statique est remplacée par la force de frottement cinétique, ce qui a souvent comme effet de diminuer la force de frottement.

Soit le cas dessiné à la fig. 2.33. On pose une boite de $m=10\ \mathrm{kg}$ sur un sol horizontal. Les coefficients de frottement cinématiques et statiques sont donnés par $\mu_k=0.3$ et $\mu_s=0.4$. Déterminer la force de frottement et l’accélération de la boîte si la force $\vec F$ est égale à $0\ \mathrm{N}$, $10\ \mathrm{N}$, $20\ \mathrm{N}$, $38\ \mathrm{N}$, et $40\ \mathrm{N}$.

La force statique maximale est donnée par \[F_\mathrm{frot,max}=\mu_s\cdot F_N=0.4\cdot 10\cdot 9.8=39.2\ \mathrm{N}.\qquad{(2.78)}\] Les 4 premières force ci-dessus seront donc inférieures à ce seuil et la force de frottement sera $-\vec F$ grâce à la deuxième loi de Newton. Lorsque $\vec F$ dépasse $39.2\ \mathrm{N}$, la force de frottement devient la force de frottement cinétique. On a donc \[F_\mathrm{frot}=\mu_k\cdot F_N=0.3\cdot 10\cdot 9.8=29.4\ \mathrm{N}.\qquad{(2.79)}\] On a donc qu’on a une force résultante non-nulle sur la boite \[F_\mathrm{res}=F-F_\mathrm{frot}=40-29.4=10.6\ \mathrm{N}.\qquad{(2.80)}\] Et donc la boite va accélérer avec un accélération \[a=F_\mathrm{res}/m=10.6/10=1.06\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.\qquad{(2.81)}\]

Tirer la luge, car lorsque nous poussons nous avons tendance à “enfoncer” la luge dans le sole et donc augmenter le frottement. A l’inverse quand on tire la luge, on a tendance à la soulever et donc à diminuer le frottement.

Afin de complexifier un peu plus encore les cas d’application de la force de frottement considérons le cas du plan incliné (voir la fig. 2.35). Soit une boite de masse $m$ posée sur un plan incliné qui forme un angle $\theta$ avec l’horizontale. La force de gravité agit toujours dans la direction verticale, alors qu’ici la force normale du plan sur la boite n’est pas verticale mais est perpendiculaire au plan incliné. On aura donc que le frottement sera plus faible que lorsque le plan est horizontal, car la composante verticale de la force normale sera plus faible. Calculer l’accélération de la boite si le coefficient de frottement cinétique est de $\mu_k=0.1$.

Il est plus simple de placer les axes parallèle et normal au plan. Ainsi la force de gravité sera la seule qui ne sera pas alignée sur un des axes. Nous avons donc que la force de gravité est donnée par \[ \vec F_g=\begin{pmatrix}mg\sin\theta \\ -mg\cos\theta \end{pmatrix}. \qquad{(2.82)}\] Dans la direction $x$, le bilan de force est donné par \[ \begin{aligned} &F_{g,x}-F_{\mathrm{frot},x}=ma_x,\\ &mg\sin\theta-F_N\mu_k=ma_x,\\ &mg\sin\theta-F_N\mu_k=ma_x. \end{aligned} \qquad{(2.83)}\] Afin de résoudre cette équation, il nous manque $F_N$. Regardons la composante $x$ de la force \[ \begin{aligned} &F_{g,y}+F_N=ma_y=0,\\ &-m g\cos\theta+F_N=0,\\ &F_N=mg\cos\theta. \end{aligned} \qquad{(2.84)}\] En remplaçant cette relation dans l’éq. 2.83 on obtient \[ \begin{aligned} &mg\sin\theta-mg\cos\theta\mu_k=ma_x,\\ &g(\sin\theta-\cos\theta\mu_k)=a_x,\\ &a_x=9.8\cdot(\sin(30)-0.1\cdot \cos(30))=4.05\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. \end{aligned} \qquad{(2.85)}\]

Il existe beaucoup d’autres types de forces de frottement. Elles sont pour la plupart responsables du mauvais rendement de la plupart de nos appareils d’utilisation quotidienne ou de nos moyens de transports. Néanmoins les forces de frottement sont également nécessaires pour nos déplacements. Sans la force de frottement nous ne pourrions pas marcher. Il suffit de voir la difficulté à se déplacer quand nous nous trouvons sur une surface très glissante (où la force de frottement est très faible).

Frottement visqueux

L’autre frottement auquel nous avons à faire au quotidien est le frottement visqueux. Il apparaît lorsque deux solides sont mis en contact via un lubrifiant ou qu’un corps est en mouvement dans un fluide.

Si nous considérons le mouvement d’un objet dans un fluide. En première approximation, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse de l’objet et dans le sens opposé du mouvement \[ \vec F_\mathrm{frot}=-k\cdot \vec v, \qquad{(2.86)}\] où $k$ est coefficient de résistance de l’objet dans le fluide. Il dépend de la forme de l’objet, de la viscosité du fluide, ainsi que de la facilité de l’objet à pénétrer dans le fluide.

Lorsqu’un objet tombe en chute libre dans l’air, il ne va pas accélérer indéfiniment. Au fur et à mesure que sa vitesse augmente la force de frottement va augmenter jusqu’à être égale en norme à la force de gravité. La force résultante sur l’objet devenant nulle, il n’y aura plus d’accélération et la vitesse restera constante. On appelle cette vitesse la vitesse limite.

On peut la calculer à l’aide de la deuxième loi de Newton \[ \begin{aligned} F_\mathrm{frot}-F_g=0,\\ k v_\mathrm{lim}-m g=0,\\ v_\mathrm{lim}=\frac{m g}{k}. \end{aligned} \qquad{(2.87)}\]

Calculer la vitesse limite d’un parachutiste de masse de $m=80\ \mathrm{kg}$ si son coefficient de résistance est de $k=10 \mathrm{kg}/\mathrm{s}.$

La vitesse limite se calcule à l’aide de la formule précédente \[ v_\mathrm{lim}=\frac{80\cdot 9.8}{10}=78.4\ \mathrm{m}/\mathrm{s}=282\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. \qquad{(2.88)}\]

Questions

Générer un tableau contenant $N$ particules, numérotées $p_i$, représentées par leur masse $m_i$ et leur position $\vec r_i$, sachant que:

Mouvement circulaire et gravitation

Dans tout autre cas, l’ojet suivra une trajectoire incurvée. Dans ce qui suit nous allons nous intéresser à un cas particulier: celui du mouvement circulaire et du cas particulier du mouvement orbital (quasi-circulaire) des objets célestes tels que le mouvement de la lune autour de la terre ou de la terre autour du soleil.

La cinématique du mouvement circulaire

Un objet qui se déplace à vitesse constante $v$ (la norme de la vitesse est constante) et suivant une trajectoire circulaire est en mouvement circulaire uniforme. Il est primordial de réaliser que bien que la norme de la vitesse est constante, la direction de la vitesse change constamment étant donné que l’objet bouge le long d’un cercle. Dès lors, il subit pune accélération, bien que la norme de la vitesse soirt constante. Soient $\vec v_1$ et $\vec v_2$ les vitesses mesurées de l’objet sur un cercle, et la mesure est décalée d’un temps $\Delta t$, alors son accélération est donnée par \[ \vec a = \frac{\vec v_2-\vec v_1}{\Delta t}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}. \qquad{(2.91)}\] On peut se convaincre à l’aide d’un petit dessin que si $\Delta t$ est suffisamment petit, alors $\Delta \vec v$ pointe vers le centre du cerle et donc $\vec a$ pointe également vers le centre du cercle (l’équation ci-dessus nous l’assure en effet). On va alors noter $\vec a_R$ l’accélération radiale subie par l’objet. La norme de l’accélération radiale est donnée par \[ a_R=\frac{v^2}{r}, \qquad{(2.92)}\] où $r$ est le rayon du cercle le long duquel se déplace l’objet. Ainsi un objet se réplaçant le long d’un cercle de rayon $r$ subit une accélération dirigée vers le centre du cercle, et de norme $a_R=v^2/r$. Plus le cercle est grand et moins l’accélération est forte (le changement de direction est plus faible) et plus la vitesse est forte plus il faut accélérer pour changer de direction abruptement.

Il faut également noter que la vitesse pointe toujours dans le direction tangentielle au cercle et ainsi l’accélération et la vitesse sont perpendiculaires. On peut également décrire le mouvement circulaire en terme de la fréquence ou de la période de révolution de l’objet. Ainsi, si l’objet fait un tour du cercle en un temps $T$ (la période du mouvement est $T$) la fréquence, $f$, sera donnée par \[ f=\frac{1}{T}. \qquad{(2.93)}\] On aura donc que la vitesse de l’onbet sera donnée par la distance parcourue par tour sur le temps d’une révolution \[ v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi r f. \qquad{(2.94)}\]

Soit une balle pesant $2\mathrm{kg}$, attachée à une corde de longueur de $50\mathrm{cm}$ et que la balle fait 3 tours par seconde. Quelle est l’accélération radiale qu’elle subit?

On sait que $a_R=v^2/r$ et que $v=2\pi r f$. De l’énoncé on a $f=3\ \mathrm{s}^{-1}$ et $r=0.5\mathrm{m}$. Il vient donc \[ a_R=4\frac{\pi^2 r^2 f^2}{r}=4\pi^2 r f^2=2\pi^2 9=18\pi^2\cong 178 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. \qquad{(2.95)}\]

De quel facteur change l’accélération de la balle si on double la longueur de la corde?

La lune a une orbite quasi circulaire autour de la terre. Sachant que la distance terre-lune est de $384'000\mathrm{km}$ et que sa période est de $27 jours$ (environ). Quelle est l’accélération de la lune vers la terre?

La dynamique du mouvement criculaire

Voyons à présent ce qu’on peut dire sur la description du système d’un point de vue de la dynamique (des forces).

Que peut-on dire sur la force résultante que subit un objet en mouvement sur un cercle de rayon $r$ et qui bouge à vitesse $v$?

Nous savons de la 2e loi de Newton que $\vec F_\mathrm{res}=m\cdot \vec a$. Ainsi, comme nous savons que $\vec a$ pointe dans la direction du centre du cercle et que sa norme vaut $||\vec a||=v^2/$, nous avons que la norme de la force résultante vaut \[ F_\mathrm{res}=m\frac{v^2}{r}. \qquad{(2.96)}\]

Cette force agit vers le centre du cercle et non vers l’extérieur (ce qui pourrait si on se fie à notre intuition). En effet, bien que la force qu’on ressent quand on est dans une voiture qui tourne paraît être vers “l’extérieur”, il s’agit en fait de la force à appliquer pour ne pas aller en ligne droite (qui est le mouvement naturel des objets).

Soit une balle attachée à une ficelle, de masse $m=1\mathrm{kg}$, suivant un mouvement circulaire de rayon $r=1\mathrm{m}$, mettant $10\mathrm{s}$ pour effectuer un tour. Quelle est la force que subit la balle?

Nous savons que la balle subit une force \[ F\mathrm{res}=m a_R=m \frac{v^2}{r}=m\frac{(2\pi r)^2}{T^2}\frac{1}{r}=\frac{4\pi^2 r}{T^2}=\frac{4\pi^2}{100}\cong 0.395\mathrm{N}. \qquad{(2.97)}\]

La loi de la gravitation universelle

Partant de l’observation que les objets qui tombent sur terre accélèrent, Newton, a également émi l’hypothèse qu’ils devaient subir une force, la force de gravité. De plus cette force s’applique toujours vers le centre de la terre, peu importe sa position sur la surface de la terre. Ainsi, il conclut que la terre elle-même exerce une force sur les objets qui se trouvent à sa surface.

On sait que l’accélération subie par un objet à la surface de la terre est donnée par $g=9.81\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$. De ce qu’on a calculé plus haut (enfin ça c’est si vous avez fait l’exercice), on sait que l’accélération de la lune est de $a_R=0.00272\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$. On peut écrire le rapport entre ces deux accélérations \[ \frac{g}{a_R}\cong 3600. \qquad{(2.98)}\] Il se trouve que le rapport entre le rayon de la terre ($6400\mathrm{km}$) et la distance entre la terre et la lune ($384000\mathrm{km}$) est d’environ $1/60$. Il se trouve que $1/60^2=1/3600$. Coïncidence? Je ne crois pas.

En fait, il se trouve que ce n’est pas un hasard mais on y reviendra plus tard. On a que la force de gravité entre la lune et la terre est donc proportionnelle au carré de l’inverse de la distance entre les deux \[ F_\mathrm{grav}\sim 1/r^2. \qquad{(2.99)}\] De plus cette force doit être reliée à la masse de la lune et de la terre. Comme en vertu du principe d’action réaction la force sur la terre et sur la lune est la même. Ainsi, il peut sembler naturel que cette force soit proportionnelle au produit des masses de chacun des deux objets \[ F_\mathrm{grav}\sim \frac{m_\mathrm{terre} m_\mathrm{lune}}{r^2}, \qquad{(2.100)}\] La direction de cette force est le long de la droite qui relie les deux objets et que la force est toujours attractive.

De cette observation et d’observation similaire pour le couple terre-soleil, Newton poustla la loi de la gravitation universelle qui dit que chaque particule dans l’univers attire chaque autre particuleavec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversément proportionnelle au carré de la distance qui les séparent et dont la direction est le long de la droite qui les relie. Ainsi la loi de la gravitation universelle s’écrit \[ F_\mathrm{grav}=G\frac{m_1 m_2}{r^2}, \qquad{(2.101)}\] avec $m_1$, $m_2$ les masses des deux particules et $r$ la distance entre les deux. $G$ est appelée la constant de la gravitation universelle et a été déterminée expérimentalement comme valant \[ G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{\mathrm{N}\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2}. \qquad{(2.102)}\]

Quelle doit être la vitesse d’un satellite, de masse $m_s$, dont l’orbite est circulaire et est à une distance $r$ de la terre, dont la masse est $m_T$? A quelle distance doit se trouver le satellite si l’orbite est géostationnaire?

Les équations du mouvement

Les lois de Newton, nous permettent de décrire des systèmes très complexes, comme le déplacement des planètes dans le système solaire, ou les gaz de particules. Dans cette section nous allons voir comment.

Pour ce faire, nous allons considérer une particule $P$ en mouvement, qui est caractérisée par une position $\vec r(t)$ (qui dépend donc du temps, $t$) et par une masse $m$ constante. Nous souhaitons ici décrire le mouvement de $P$ en fonction du temps, en d’autre termes la valeur de $x(t)$ pour toute valeur de $t$. Il existe différents cas de figures, tels que mouvement rectiligne uniforme, ou le mouvement réctiligne uniformément accéléré, que vous connaissez qui permettent de résoudre exactement le mouvement de $P$. Ici, nous souhaitons généraliser un petit peu tout ça, en supposant que la vitesse et l’accélération de la particule dépendent également du temps, $\vec v(t)$ et $\vec a(t)$. Pour les besoins de ce cours, nous allons utiliser des approximations numérique des valeurs de $x(t)$, $v(t)$, et $a(t)$.

Pour simplifier, nous allons discrétiser le temps. Au lieu de laisser le temps prendre n’importe quelle valeur réelle positive, $t\in\mathbb{R}^+$, il ne pourra prendre que les valeurs suivantes: \[ t_j=j\cdot \delta t, \qquad{(2.103)}\] $\delta t>0$ étant le pas de discrétisation temporel et $j\in\mathbb{Z}^+$ (voir fig. 2.36).

Le mouvement sans accélération

Supposons que pour notre particule $P$, nous connaissons sa position initiale, $\vec r(0)$ et sa vitesse en tout temps, $\vec v(t)$. Nous souhaitons connaître une approximation de la position $\vec r(t_j)$. Pour ce faire nous commençons au point $\vec r(0)$ et calculons sa nouvelle position à l’aide de la vitesse $\vec v(0)$ \[ \vec r(\delta t)=\vec r(0)+\delta t\cdot \vec v(0). \qquad{(2.104)}\] Plus $\delta t$ est petit, plus cette approximation sera précise. En utilisant la notation $t_j=j\cdot \delta t$, on obtient \[ \vec r(t_1)=\vec r(t_0)+\delta t\cdot \vec v(t_0). \qquad{(2.105)}\]

On peut réécrire l’équation ci-dessus comme \[ \vec v(0)=\frac{\vec r(\delta t)-\vec r(0)}{\delta t}. \qquad{(2.106)}\] En prenant la limite $\delta t\rightarrow 0$, on obtient \[ \vec v(0)=\vec r'(0), \qquad{(2.107)}\] Soit la relation bien connue que la dérivée de la position donne la vitesse. Ou encore de façon similaire \[ \vec v(t_0)=\vec r'(t_0), \qquad{(2.108)}\]

Nous pouvons ainsi calculer la position pour $t_2$⁷ \[ \vec r(t_2)=\vec r(t_1)+\delta t\cdot \vec v(t_1), \qquad{(2.109)}\] et ainsi de suite pour n’importe quelle valeur de $t_j$ \[ \vec r(t_j)=\vec r(t_{j-1})+\delta t\cdot \vec v(t_{j-1}). \qquad{(2.110)}\] De cette équation, nous pouvons également déduire que \[ \vec v(t_{j-1})=\frac{\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})}{\delta t}, \qquad{(2.111)}\] ou encore \[ \vec v(t_{j})=\frac{\vec r(t_{j+1})-\vec r(t_{j})}{\delta t}. \qquad{(2.112)}\]

Nous pouvons ainsi approximer le mouvement de la particule $P$ pour tout instant $t_j$. A l’inverse en connaissant la position de la particule à tous les $t_j$, nous pouvons calculer sa vitesse.

Le mouvement avec accélération

De façon similaire à ce que nous avons fait pour le lien entre la position et la vitesse, nous pouvons faire le lien entre l’accélération et la vitesse. En connaissant la vitesse de la particule $P$ à tout instant $\vec v(t_j)$, nous pouvons approximer l’accélération $\vec a(t_j)$ comme \[ \vec a(t_j) = \frac{\vec v(t_j)-\vec v(t_{j-1})}{\delta t}. \qquad{(2.113)}\] En utilisant l’éq. 2.111 et l’éq. 2.112, il vient \[ \vec a(t_j) = \frac{\frac{\vec r(t_j+1)-\vec r(t_{j})}{\delta t}-\frac{\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})}{\delta t}}{\delta t}=\frac{\vec r(t_{j+1})-2\vec r(t_j)+\vec r(t_{j-1})}{\delta t^2}. \qquad{(2.114)}\] En isolant $\vec r(t_{j+1})$ il vient \[ \vec r(t_{j+1})=2\vec r(t_j)-\vec r(t_{j-1})+\vec a(t_j)\delta t^2. \qquad{(2.115)}\] Cette équation est connue sous le nom de schéma de Verlet. Cette formule est correcte pour $j\geq 1$. Pour $j=0$, on a \[ \vec r(t_{1})=\vec r(t_0)+\delta t\vec v(t_0)+\vec a(t_0)\delta t^2. \qquad{(2.116)}\] Il est donc nécessaire de connaître la vitesse initiale et la position initiale de la particule $P$ pour pouvoir calculer son évolution, ainsi que son accélération en tout temps $t_j$. Afin de calculer l’accélération de la particule $P$, on utilise souvent les lois de Newton. Ainsi, \[ \vec a(t_j)=\frac{\vec F(t_j)}{m}. \qquad{(2.117)}\]

Comparer la position d’un objet $\vec s_\mathrm{exact}$ \[ \vec s_\mathrm{exact}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\vec a_x t^2+v_{0x} t \\ \frac{1}{2}\vec a_y t^2+\vec v_{0y} t \end{pmatrix}, \qquad{(2.118)}\] soumis à une accélération \[ \vec a=\begin{pmatrix}0 \\ -10 \end{pmatrix}\mathrm{m}/\mathrm{s}^2, \qquad{(2.119)}\] et \[ \vec v_0=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}\mathrm{m}/\mathrm{s}, \qquad{(2.120)}\] après un temps $t=0.2\mathrm{s}$ et ce qu’on obtient avec l’équation de Verlet pour $\delta t=0.1$ et $\delta t=0.05$.

Après $t=0.2\mathrm{s}$ l’ojet se trouve à \[ \vec s_\mathrm{exact}=\begin{pmatrix}0.2 \\ 0.0 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \qquad{(2.121)}\] Pour l’approximation de Verlet, on doit d’abord initialiser le problème, soit calculer $\vec s_0=\vec s(t=0)$ et $\vec s_1(t=\delta t)$. On a \[ \vec s_0=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}\mathrm{m}, \qquad{(2.122)}\] et pour $\delta t=0.1$ \[ \vec s_1(\delta t=0.1)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\begin{pmatrix}0.1 \\ 0.1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.0 \\ -0.01\cdot 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.1 \\ 0.0 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \qquad{(2.123)}\] On obtient donc pour $\vec s_2(t=2\delta 2)$ on a \[ \vec s_2(\delta t=0.1)=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\begin{pmatrix}0.2 \\ 0.0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.0 \\ -0.01\cdot 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2 \\ -0.1 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \qquad{(2.124)}\] De même pour $\delta t=0.05$ on a \[ \vec s_1(\delta t=0.05)=\vec s_0+\delta t\vec v(t_0)+\vec a\delta t^2=\begin{pmatrix}0.05 \\ 0.05 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.0 \\ -0.0025\cdot 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.05 \\ 0.0025 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \qquad{(2.125)}\] Et ensuite les différentes étape $\vec s_2=\vec s(t=2\delta t)$, $\vec s_3=\vec s(t=3\delta t)$, $\vec s_4=\vec s(t=4\delta t)$ \[\begin{align} \vec s_2(\delta t=0.05)&=2\vec s_1-\vec s_0+\vec a\delta t^2=\begin{pmatrix}0.1 \\ 0.05 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.0 \\ -0.0025\cdot 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.1 \\ 0.025 \end{pmatrix}\mathrm{m},\\ \vec s_3(\delta t=0.05)&=2\vec s_2-\vec s_1+\vec a\delta t^2=\begin{pmatrix}0.2 \\ 0.05 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0.1 \\ 0.025 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.0 \\ -0.0025 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.15 \\ 0.0 \end{pmatrix}\mathrm{m},\\ \vec s_4(\delta t=0.05)&=2\vec s_3-\vec s_2+\vec a\delta t^2=\begin{pmatrix}0.3 \\ 0.0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0.1 \\ 0.025 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.0 \\ -0.0025 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2 \\ -0.05 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \end{align}\] On voit que bien que $\vec s_4(\delta t = 0.05)=\begin{pmatrix}0.2 \\ -0.05 \end{pmatrix}$ soit toujours faux par rapport à la solution exacte, elle est plus proche de la solution que $\vec s_2(\delta t=0.1)=\begin{pmatrix}0.2 \\ -0.1 \end{pmatrix}$. On constate également que si on a pas d’accélération, la position trouvée est exacte.

La charge électrique et le champs électrique

Les forces électriques sont omniprésentes dans notre vie de tous les jours. Elles permettent d’allumer des ampoules, de faire fonctionner les ordinateurs, de faire tourner des moteurs, … Elles sont aussi responsables des interactions inter-atomiques pour que des amas d’atomes forment des solides ou les liquides. En réalité un certain nombre des forces que nous avons considéré dans le chapitre précédent sont le résultat des interactions électriques au niveau atomique (la force de frottement par exemple).

L’électricité statique et la conservation de la charge électrique

Lorsqu’on frotte un ballon de baudruche contre sa tête, on constate que les cheveux ont tendances à rester attachés au ballon plutôt que de tomber vers le sol sous l’effet de la gravité. On dit aujourd’hui que les cheveux se dressent sous l’effet de l’électricité statique. En réalité, sous l’effet du frottement, le ballon comme les cheveux deviennent “chargés”: ils possèdent une charge électrique.

Il existe deux types de charges électriques: la charge positive et la charge négative. Des objets possédant une charge de même type ont tendance à se repousser, alors que ceux possédant des charges opposées ont tendance à s’attirer mutuellement.

L’expérience de charger un objet en le frottant peut amener à charger positivement ou négativement un objet. Ainsi, on dit qu’une baguette en verre est chargée positivement, alors qu’une baguette en plastique est chargée négativement. Ce choit est totalement arbitraire et a été choisi par B. Franklin (au 18e siècle) qui a été un des premiers à faire ce type d’expériences.

Avant de frotter ses cheveux contre un ballon et de rendre les cheveux et le ballon chargés, on constate qu’il n’y a pas d’attraction particulière entre ces deux objets. Cela signifie que ni l’un ni l’autre ne sont chargés. En fait le frottement va donner une charge égale et opposée à chaque objet.

Cela est une conséquence de la loi de la conservation de la charge électrique qui dit que

En pratique cela signifie que si une région de l’espace acquière une charge positive, une autre région aura acquis dans le même temps la même charge mais négative.

La charge électrique dans les atomes

Un modèle simplifié d’un atome postule qu’un atome possède un noyau chargé positivement (composé de protons et de neutrons, ces derniers n’ont pas de charge) autour duquel tournent les électrons chargés négativement (voir fig. 3.1). Les protons ont exactement la même charge électrique que les électrons mais inversée. Ainsi les atomes n’ont pas une charge nette.

Sous l’effet du frottement (entre autres) un atome peut perdre ou gagner des électrons. Il devient ainsi positivement ou négativement chargé (respectivement), et est appelé un ion. Les atomes dans un solide ont une structure cristalline (ils ne peuvent quasiment pas bouger). De plus, dans des isolants, les électrons sont également fortement attachés à leurs noyaux, alors que dans des conducteurs, ils sont libres de se mouvoir à la surface du solide. Ainsi, lorsqu’on frotte un isolant (un ballon) avec un autre isolant (les cheveux), des électrons sont transférés de l’un vers l’autre ce qui conduit à un transfère net de charge. Cette charge nette ne dure pas indéfiniment, car les électrons en trop sont diffusés dans l’air, attirés par les molécules d’eau en général.

Isolants et conducteurs

Si nous sommes en présence de deux objets métalliques, un chargé électriquement et un autre neutre, et qu’on connecte les deux objets à l’aide d’un fil métallique, on constate que l’objet non chargé devient rapidement chargé. À l’inverse, si on connecte les deux objets métalliques avec un morceau de plastique, la charge de l’objet neutre ne changera pas.

Les objets métalliques sont de bons conducteurs d’électricité, alors que le plastique est un isolant (il conduit mal l’électricité). Il existe également une sorte intermédiaire qui est à mi-chemin entre isolant et conducteur: les semi-conducteurs. Le silicium entre dans cette catégorie par exemple (le silicium est un composant très important des ordinateurs). Nous parlerons des semi-conducteurs plus tard dans ce cours.

La différence entre isolant et conducteur au niveau atomique est la suivante. Les électrons dans un isolant sont très fortement attachés au noyau. Pour un conducteur en revanche, certains électrons ont un lien beaucoup plus faible avec le noyau et peuvent se déplacer librement à la surface du matériau conducteur (mais pas s’en détacher). Ces électrons sont appelés électrons libres. Ainsi, un matériau chargé qui entre en contact avec un conducteur va avoir pour effet de déplacer les électrons de celui-ci. Si la charge est positive, les électrons se déplaceront vers la charge, à l’inverse ils s’en éloigneront si la charge est négative.

Pour en revenir à notre exemple du début de la section, lorsqu’un conducteur neutre, $N$, est mis en contact avec un autre conducteur chargé positivement, $C$, le conducteur $N$ deviendra également positivement chargé. En effet, lorsque $N$ et $C$ sont mis en contact, les électrons de $N$ sont attirés par la charge positive de $C$, et certains passeront de $N$ à $C$, diminuant la charge nette de $C$ et augmentant la charge positive de $N$, jusqu’à ce que $N$ et $C$ aient la même charge. Ce processus est appelé charge par conduction, car les deux conducteurs sont en contact direct.

Si maintenant les deux objets sont rapprochés, mais sans être mis en contact. Les électrons libres ne vont pas quitter le conducteur $N$ pour rejoindre le conducteur $C$. En revanche, les électrons de $N$ seront attirés par le conducteur $C$ et se déplaceront en direction de $C$, créant ainsi deux zones à l’intérieur de $N$: une chargée négativement proche de $C$, et une positivement éloignée de $C$. Néanmoins, la charge nette de $N$ reste toujours la même, c’est à dire nulle. Ce processus est appelé charge par induction.

Pouvez-vous imaginer un processus pour charger un conducteur en utilisant la charge par induction?

Ce processus permet de charger un objet assez facilement. Pour ce faire, il faut connecter l’objet à l’aide d’un conducteur à la Terre⁸ (à l’aide d’un fil par exemple). Puis, en utilisant la charge par induction, les électrons vont quitter (ou pénétrer) le conducteur depuis la Terre. Puis, il suffit de couper le fil et le tour est joué.

La loi de Coulomb

Dans les précédentes sections, nous avons vu la phénoménologie de la force que les charges électriques peuvent exercer entre elles. Ces forces peuvent être attractives ou répulsives, mais nous ne savons pas encore quelle peut être la magnitude de cette force.

La force électrique a été étudiée par Charles Coulomb au 18e siècle (1780 environ) à l’aide d’une balance à torsion. Cette balance est basée sur le même principe qu’une balance pour la gravitation, mais adaptée à la force électrique (une vidéo décrivant l’expérience peut se trouver sur ce lien).

Un axe avec une boule conductrice à une extrémité est suspendue à un long fil très fin. Le dispositif est enfermé dans une cloche en verre limitant ainsi les courants d’air. Dans cette cloche, on peut introduire un autre conducteur chargé. Lorsque les boules sont mises en contact, la charge est répartie entre les deux objet et ils se repoussent. Cette force induit une torsion du fil et on peut ainsi mesurer l’amplitude de la force. Ainsi, on peut mesurer la torsion du fil sous l’effet de la force électrique. En variant la distance de départ entre les charges, et en utilisant plus d’objets, Coulomb a pu déterminer sa loi reliant la force électrique avec la distance et la charge.

Coulomb énonce que la force électrique entre deux object de charges $Q_1$, et $Q_2$ est proportionnelle au produit des charges en présence et inversément proportionnelle au carré de la distance, $r$, qui les sépare⁹. Cela peut s’écrire sous la forme \[ F=k\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}, \qquad{(3.1)}\] où $k$ est la constante de proportionnalité. Une autre grandeur apparaît souvent dans la littérature, la permittivité du vide, $\epsilon_0$, qui est relié à $k$ par la relation \[ k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}, \qquad{(3.2)}\] avec $\epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2)$. La force est toujours dans la direction de la ligne reliant les deux charges.

A l’aide de la formule ci-dessus. Pouvez-vous faire un schéma de deux charges, $Q_1$ et $Q_2$, ainsi que de la force de $Q_1$ sur $Q_2$ et de $Q_2$ sur $Q_1$ dans les cas où:

Si les deux charges ont le même signe, la force est répulsive (la force éloigne les charges), si les deux charges ont un signe opposé, la force est attractive (la force attire les charges l’une vers l’autre).

Est-ce que la loi de Coulomb est compatible avec la troisième loi de Newton (principe d’action-réaction)?

On constate que la loi de Coulomb est effectivement compatible avec la troisième loi de Newton (encore heureux!). En effet, l’amplitude de la force est la même quelque soit la charge ($Q_1$ ou $Q_2$) de l’objet que nous considérons, et les forces sont également opposées en direction étant donnée qu’elles sont répulsives ou attractives.

On constate que la loi de Coulomb est très similaire à la loi de gravitation universelle pour deux masses $m_1$, $m_2$, séparée par une distance $r$ \[ F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}, \qquad{(3.3)}\] où $G$ est la constante de gravitation universelle. Une différence fondamentale est que la gravitation est une force uniquement attractive, alors que la force de Coulomb peut-être attractive ou répulsive.

En SI la constante $k$ a pour valeur \[ k=8.988\cdot 10^9\ \frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}, \qquad{(3.4)}\] où $\mathrm{C}$ est le Coulomb, l’unité de la charge électrique.

Pour avoir une idée de ce que représentent ces grandeurs, voyons quelle force exerceraient entre elles deux charges d’un Coulomb séparées d’un mètre: \[ F\cong 9\cdot 10^9\frac{\cdot 1\cdot 1}{1^2}=9\cdot 10^9\ \mathrm{N}. \qquad{(3.5)}\] Cela correspond au poids d’un objet de presque $10^9\ \mathrm{kg}$! On voit qu’un Coulomb est une charge gigantesque qu’on ne rencontre pas fréquemment dans la nature. Typiquement, les charges sont plutôt de l’ordre du $\mu C$ (soit $10^{-6}$ Coulombs).

L’unité élémentaire de la charge, est la charge d’un proton ou d’électron, notée $e$: la charge élémentaire. Elle vaut \[ e=1.6022\cdot 10^{-19} \mathrm{C}. \qquad{(3.6)}\] Ici $e$ est positive et correspond donc à la charge d’un proton, alors que $-e$ est la charge de l’électron.

Quelle conséquence y a-t-il à avoir une charge élémentaire? Toutes les charges sont-elles possibles?

L’existence d’une charge élémentaire a comme conséquence que la charge est “quantisée”: elle n’est exprimable qu’en multiples entiers de $e$ ($e$, $2e$, 3$e$, …). Il est ainsi impossible d’avoir une charge qui soit $12889283. 512\cdot e$. Pour des usages pratiques, on voit néanmoins que cette discrétisation n’a pas d’implication directes: il faut environ $10^{13}$ électrons pour faire $1\mu\mathrm{C}$. On a donc l’impression à l’échelle humaine que la charge est une quantité continue. En revanche à des échelles nanoscopies (la taille des circuits des micro-processeurs par exemple) l’effet de la quantisation devient visible et même problématique (on a atteint la limite de réduction de la taille des circuits imprimés classiques à cause de l’effet tunnel).

L’équation de Coulomb s’applique à des charges ponctuelles ou au moins la taille ds objets chargés est beaucoup plus faible que les distances entre les objets. Cela permet de négliger la distribution des charges dans des objets qui pourrait être non-uniforme. Par ailleurs, cette équation est valable quand les charges sont stationnaires car d’autres forces entrent en jeu lorsque les charges sont en mouvement, mais cela dépasse le cadre de ce cours. Ici nous nous intéressons donc à l’électrostatique et donc l’équation de Coulomb donne la force électrostatique.

Déterminer la valeur, direction et orientation de la force électrique entre un proton et un électron, de charges $Q_1=-e$ et de charge $Q_2=+e$ dans un atome d’hydrogène en supposant que l’électron et le proton sont à une distance de $r=0.5\cdot 10^{-10}\mathrm{m}$.

La norme de la force se détermine aisément avec l’équation de Coulomb \[ F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 1.6^2\cdot 10^{-38}}{0.5^2\cdot 10^{-20}}\cong 9\cdot 10^{-8}\ \mathrm{N}. \qquad{(3.7)}\] Cette force va dans la direction reliant le proton et l’électron, et est attractive car les forces sont opposées.

Soient deux forces $Q_1=10\mu\mathrm{C}$ et $Q_2=100\mu\mathrm{C}$ séparées par une distance $r$. Quelle charge ressent la plus grande force?

La force ressentie par les deux forces est la même. En effet, \[ F_{12}=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=k\frac{Q_2Q_1}{r^2}=F_{21}. \qquad{(3.8)}\]

La loi de Coulomb décrit l’intéraction entre deux charges. En présence de plusieurs charges, nous pouvons appliquer le principe de superposition, et comme nous l’avons fait pour la force de gravitation, et considérer les forces deux par deux comme des vecteurs. Ainsi, si nous avons un système de trois charges, $Q_1$, $Q_2$, et $Q_3$, la charge $Q_1$ ressent la somme de la force $Q_2\rightarrow Q_1$ et $Q_3\rightarrow Q_1$.

Deux exercices

Les exercices suivants sont très similaires à ce que nous avons fait avec les forces au chapitre précédent. L’unique différence, c’est que les forces sont obtenues avec la loi de Coulomb.

Soient trois particules chargées, $Q_1$, $Q_2$, et $Q_3$ alignées de gauche à droite (voir fig. 3.2). Calculer la force exercée sur $Q_3$ (la particule la plus à droite) si les charges sont données par \[ Q_1=-8\mu\mathrm{C},\quad Q_2=3\mu \mathrm{C},\quad Q_3=-3\mu\mathrm{C}, \qquad{(3.9)}\] et que les distances sont de \[ r_{12}=0.3\ \mathrm{m},\quad r_{23}=0.2\ \mathrm{m}. \qquad{(3.10)}\] Ensuite calculer les forces agissant sur $Q_1$ et $Q_2$.

Par le principe de superposition, on a que la force résultante, $\vec F$ que ressent $Q_3$ est donnée par \[ \vec F=\vec F_{2\rightarrow 3}+\vec F_{1\rightarrow 3}. \qquad{(3.11)}\] La loi de Coulomb nous donne immédiatement $F_{2\rightarrow 3}$ et $F_{1\rightarrow 3}$ \[\begin{align} F_{2\rightarrow 3}&=k\frac{Q_2Q_3}{r_{23}^2}\cong 2.02\mathrm{N},\\ F_{1\rightarrow 3}&=k\frac{Q_1Q_3}{r_{13}^2}\cong 0.86\mathrm{N}. \end{align}\] La charge $Q_3$ étant négative la force de $Q_1$ est répulsive, alors que celle de $Q_2$ est attractive. On a donc finalement \[ F=-F_{2\rightarrow 3}+F_{1\rightarrow 3}=-1.16\mathrm{N}, \qquad{(3.12)}\] et la force pointe vers la gauche.

Cet exercice nous montre une propriété importante de la force électrique. La charge $Q_2$ ne masque pas du tout la charge $Q_1$. En effet, la force que $Q_1$ applique sur $Q_3$ est la même que si $Q_2$ n’était pas là.

Soient trois charges comme sur la fig. 3.3. Calculer la force électrostatique résultante sur $Q_3$ dûes aux charges $Q_1$ et $Q_2$.

Ajouter une charge $Q_4=-50\mu\mathrm{C}$ de telle façon à ce que la force sur $Q_3$ soit nulle. Quelle doit être sa position?

Cet exercice se résout de façon très similaire à l’exercice précédent, simplement que le problème est bi-dimensionnel. La force résultante sur $Q_3$ est donnée par \[ \vec F=\vec F_{2\rightarrow 3}+\vec F_{1\rightarrow 3}. \qquad{(3.13)}\] Les normes de $\vec F_{2\rightarrow 3}$ et $\vec F{1\rightarrow 3}$ se calculent avec la loi de Coulomb \[\begin{align} F_{2\rightarrow 3}&=k\frac{Q_2Q_3}{r_23^2}\cong 325\mathrm{N},\\ F_{1\rightarrow 3}&=k\frac{Q_1Q_3}{r_13^2}\cong 140\mathrm{N}. \end{align}\] Avec vos talents de trigonométrie, on a ensuite que les vecteurs sont donnés par \[\begin{align} \vec F_{1\rightarrow 3} &= F_{1\rightarrow 3}\begin{pmatrix}\cos 30 \\ -\sin 30 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120 \\ -70 \end{pmatrix}\mathrm{N},\\ \vec F_{2\rightarrow 3} &= F_{2\rightarrow 3}\begin{pmatrix}\cos 90 \\ \sin 90 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 325 \end{pmatrix}\mathrm{N}. \end{align}\] Et on a finalement \[ \vec F=\begin{pmatrix}120+0 \\ 325-70 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120 \\ 255 \end{pmatrix}\mathrm{N}. \qquad{(3.14)}\] On peut en déduire la norme $||\vec F||$ à l’aide du théorème de Pythagore \[ ||\vec F||=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\cong 280\mathrm{N}. \qquad{(3.15)}\] L’orientation, $\theta$, de $\vec F$ se calcule également avec un peu de trigonométrie \[ \tan\theta=\frac{F_y}{F_x}=\frac{255}{120}=2.13 \Leftrightarrow \theta=65^\circ. \qquad{(3.16)}\] Afin de déterminer l’endroit où il faut placer $Q_4$, il faut que la somme de $\vec F$ avec $\vec F_{4\rightarrow 3}$ soit nulle. On doit donc avoir que la norme de ces deux forces doivent être égales et que leur direction doivent être opposées. Cela nous donne deux conditions \[\begin{align} F=F_{4\rightarrow 3},\\ \theta_4=360-\theta. \end{align}\] Nous connaissons déjà la direction de la force et donc dans quelle direction se trouvera $Q_4$ (la direction pointée par l’angle $\theta_4$). La première condition nous permet finalement de calculer la distance entre $Q_3$ et $Q_4$, $r_{34}$ \[\begin{align} F&=k\frac{Q_3Q_4}{r_{34}^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 50\cdot 10^{-6}\cdot 65\cdot 10^{6-}}{r_{34}^2},\nonumber\\ r_{34}^2&=k\frac{Q_3Q_4}{r_{34}^2}=\frac{29.2}{280},\nonumber\\ r_{34}&=0.32\mathrm{m}. \end{align}\]

Encore une fois on utilise le principe de superposition pour déterminer l’emplacement de la nouvelle charge comme si les charges $Q_1$ et $Q_2$ n’existaient pas.

Soient deux charges, $Q$ et $-Q$ qui sont à une distance $r$ l’une de l’autre. Pouvez-vous trouver l’endroit où on peut placer une charge $Q$ entre les deux pour qu’elle ne ressente aucune force? Même question mais pour les deux charges initiales ayant une charge positive.

Le champs électrique

Les forces habituelles que nous exerçons ou subissons tous les jours sont souvent dites de “contact”. Ainsi, lorsque notre main tiens un stylo, que nous donnons un coup de pied dans un ballon, … il y a un contact direct entre les objets. La force de gravitation et la force électrique ne fonctionnent pas comme cela, elles agissent à distance sans que des objets se touchent. Cette notion est un peu compliquée à appréhender. On la représente à l’aide d’un champs. Le champs électrique s’exerce vers l’extérieur d’une charge, $Q$, dans toutes les directions et remplit tout l’espace (voir fig. 3.4).

Si une seconde charge, $q$, est placée quelque part proche de la charge initiale, elle va intéragir avec le champs électrique de celle-ci. Cette intéraction est la source de la force électrostatique exercée par $Q$ sur $q$.

Le champs électrique d’une charge $Q$ peut être mesuré à l’aide d’une charge test $q$. La charge test doit être suffisamment petite pour avoir un effet négligeable sur le champs électrique de $Q$. On peut donc ainsi en baladant $q$ dans l’espace autour de $Q$, mesurer la force, $\vec F$, exercée par $Q$ sur $q$. Le champs électrique $\vec E$ est ensuite défini comme la force exercée sur $q$ divisée par $q$ \[ \vec E=\frac{\vec F}{q}. \qquad{(3.17)}\] De la loi de Coulomb, on peut donc déduire que le champs électrique autour d’une charge $Q$, mesurée à l’aide d’une charge $q$ sera donné par \[ E=k\frac{Qq}{r^2}\frac{1}{q}=k\frac{Q}{r^2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2}. \qquad{(3.18)}\] On voit donc que $E$ ne dépend que de $Q$ et plus de $q$. Le champs électrique est une quantité ne dépendant que de la charge qui l’émet. Il décroît comme le carré de la distance entre la charge et le point de la mesure.

Si à présent on inverse le problème et qu’on nous donne un champs électrique $\vec E$, et qu’on aimerait connaître la force dûe à ce champs électrique sur une charge $q$ quelconque. On aurait \[ \vec F=\vec E q. \qquad{(3.19)}\]

Une photocopieuse fonctionne en arrangeant des charges (suivant la forme de ce qu’on veut copier) sur la surface d’un rouleau et ensuite en disposant gentiment l’encre sèche, des particules chargées négativement (le toner), sur le rouleau pour qu’elles s’y attachent. Ainsi, le toner s’attache en suivant la forme des particules chargées et est ensuite chauffé lorsqu’il se trouve au contact du papier pour y être transféré. En supposant que chaque particule de toner a un excès de 20 électrons et que leur masse est de $9\cdot 10^{-16}\mathrm{kg}$. Quelle doit être le champs électrique du rouleau pour que les particules restent attachées au rouleau, s’il faut au moins une force de deux fois leur poids pour qu’elles ne s’en détachent pas?

La charge de chaque particule de toner est de $q=20e$. La force électrostatique qui s’applique sur chacune d’entre elles est de $F=qE$. De plus, on nous dit que pour que le toner ne se détache, la force électrostatique doit être au moins égale à deux fois le poids de chaque particule. Il vient donc \[ q\cdot E=2\cdot m\cdot g. \qquad{(3.20)}\] On résout pour $E$ et on trouve \[ E=\frac{2mg}{q}=\frac{2\cdot 9\cdot 10^{-16}\cdot 9.8}{20\cdot 1.6\cdot 10^{-19}}=5.5\cdot 10^3\mathrm{N}/\mathrm{C}. \qquad{(3.21)}\]

Calculer l’amplitude et la direction du champs électrique émis par une charge ponctuelle de charge $Q=-5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{C}$ à un point $P$, se trouvant à $50\mathrm{cm}$ à droite de la charge $Q$.

Le champs électrique en un point de l’espace émis par plusieurs charges sera la sommes des champs électriques émis par chacun des charges indépendamment des autres, en vertu du principe de superposition. Ce principe a été confirmé expérimentalement vérifié.

Deux charges ponctuelles, $Q_1$ et $Q_2$, sont séparées par une distance de $1\mathrm{m}$. Si $Q_1=200\mu\mathrm{C}$ et $Q_2=-400\mu\mathrm{C}$.

Soient quatre charges de même amplitude mais de signe pouvant être différent et placées sur les 4 coins d’un carré. Quel arrangement va produire le champs électrique le plus élevé au centre du carré?

Soient trois charges comme sur la fig. 3.3. Calculer le champs électrostatique à la position $Q_3$ dûes aux charges $Q_1$ et $Q_2$.

Les lignes de champs électrique

Le champs électrique est représenté par un vecteur, et on parle de champs vectoriel pour le représenter. Cela signifie qu’à chaque point de l’espace le champs électrique va associer un vecteur, qui aura l’amplitude et la direction du champs électrique en ce point (voir fig. 3.5). Dessiner de tels vecteurs peut être facilement fastidieux et peut lisible lorsque la quantité de vecteurs devient trop grande.

Pour visualiser un champs électrique, on utilise en général une série de lignes pour indiquer la direction du champs électrique (on s’intéresse plus à sont amplitude dans ce cas). On parle alors des lignes de champs électrique et sont dessinées pour indiquer la direction de la force dûe à des charges électriques sur une charge test positive. Cette convention implique que les lignes de champs sont sortantes pour une charge positive et entrantes pour une charge négative (voir fig. 3.6)

Dessiner les lignes de champs pour un charge positive seule et une charge négative seule.

On ne dessine qu’une quantité limitées de lignes de champs, bien qu’il en existe une infinité. La densité de lignes de champs est proportionnelle à l’intensité du champs électrique dans cette région de l’espace (plus elles sont denses plus le champs électrique est important). Cette propriété des lignes de champs électrique sera très utile plus tard il faut donc bien s’en souvenir.

Soient deux plaque infinies, à quoi vont ressembler les lignes de champs électrique?

Les lignes de champs sont parallèles entre elles, sortantes de la plaque positive et entrantes dans la plaque négative. Pour des raisons de symétrie, on peut assez facilement se convaincre que les lignes de champs sont perpendiculaires aux plaques. En effet, une charge test placées entre deux plaques infinies ressentirait une force symétrique de la part de chaque plaque et irait donc dans la direction perpendiculaire aux plaques.

Dans le cas où les plaques ne sont pas infinies, les lignes de champs s’incurvent au fur et à mesure qu’on s’approche des extrémités des plaques (voir fig. 3.7)

Le champs électrique dans des conducteurs

A présent, nous voulons discuter les propriétés des conducteurs à la lumière du concept des champs électriques.

Dans le cas statique, c’est à dire quand les charges sont au repos, le champs électrique dans un conducteur est nul. En effet, s’il existait un champs électrique dans le conducteur, les électrons libres se mettraient en mouvement (sous l’influence du champs électrique). Les électrons se positionneraient de telle façon que le champs devienne nul (et qu’ainsi ils ne bougent plus).

Ces propriétés ne s’appliquent qu’aux conducteurs. Les isolants n’ayant pas d’électrons libres, ceux-ci ne peuvent pas se déplacer librement. Un champs électrique peut donc exister à l’intérieur d’un isolant. De plus le champs électrique à la surface d’un isolant peut ne pas être perpendiculaire.

Une boîte en métal est placée entre deux plaques parallèles chargées électriquement comme sur fig. 3.9.

La loi de Gauss

La loi de Gauss (célèbre mathématicien et physicien de 18-19e siècle) fait intervenir le concept de flux électrique. Cette quantité est la quantité de champs électrique passant au travers d’une surface. L’équivalent pour un liquide serait le débit (la quantité de liquide passant au travers d’une surface). Pour un champs électrique uniforme, $\vec E$, passant au travers d’une surface $S$ (voir fig. 3.11), comme sur fig. 3.11 le flux, $\Phi_E$ est donné par \[ \Phi_E=E\cdot S\cdot \cos(\theta), \qquad{(3.25)}\] ou $\theta$ est l’angle entre la normale de la surface et la direction du champs électrique.

Le flux électrique peut être vu de façon équivalent comme la projection de la surface sur la direction du champs électrique ou la projection du champs électrique sur le vecteur normal de la surface. \[ \Phi_E=E_\perp\cdot S=E\cdot S_\perp=E\cdot S\cos \theta, \qquad{(3.26)}\] où $S_\perp=S\cdot \theta$ est la projection de $\vec S$ sur la direction du champs électrique (la surface $S$ multipliée par le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface) et $E_\perp$ la projection de $\vec E$ sur la direction normale à la surface $S$.

Comme nous l’avons discuté plus haut, le champs électrique se représente avec les lignes de champs. Plus le champs est intense, plus les lignes sont rapprochées. Ainsi le nombre de le champs électrique $E$ est proportionnel à la densité des lignes traversant $S_\perp$, \[ N\sim E\cdot S_\perp=\Phi_E. \qquad{(3.27)}\] Le théorème de Gauss implique le flux total de champs électrique sur une surface fermée. Prenons un cas simplifié pour commencer, où la surface fermée est un cube. On souhaite calculer le flux total passant u travers de la surface du cube (voir fig. 3.12) et le champs électrique est uniforme.

Pour ce faire nous numérotons les facettes du cube $\Delta S_1$, $\Delta S_2$, …, $\Delta S_6$ (voir fig. 3.12), et l’angle entre le champs électrique et chacune des normales des facettes correspondantes, $\theta_1$, $\theta_2$, …, $\theta_6$. Le flux total sera donné par \[\begin{align} \Phi_E&=\Delta S_1 E \cos\theta_1+\Delta S_2 E \cos\theta_2+\Delta S_3 E \cos\theta_3+\Delta S_4 E \cos\theta_4+\Delta S_5 E \cos\theta_5+\Delta S_6 E \cos\theta_6\nonumber\\ &=\sum_{i=1}^6E\Delta S_i\cos\theta_i. \end{align}\] Comme nous avons vu plus haut, le nombre de lignes de champs partant d’une charge positive et arrivant sur une charge négative sont proportionnelles à la charge. Ainsi le nombre net (la différence entre celle entrantes et celles sortantes) de lignes de champs pointant vers l’extérieur d’une surface fermée est proportionnel à la charge à l’intérieur de la surface, $Q_\mathrm{int}$. La constante de proportionnalité est $1/\epsilon_0$. On a donc finalement \[ \sum_i E\Delta S_i\cos\theta_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}. \qquad{(3.28)}\] En l’occurrence, on a aucune charge à l’intérieur du cube et on peut voir assez facilement que dans le cas où $E$ est homogène et aligné avec une face du cube, on a: \[ E\cos \pi + E\cos 0+ 4\cos\pi/2= -E+E=0. \qquad{(3.29)}\] En fait cette relation se généralise à n’importe quelle surface fermée. Si on numérote les $N$ facettes d’une surface fermée, $\{\Delta S_i\}_{i=1}^N$, et l’angle entre la normale de la $i$-ème facette avec le champs $E$, $\{\theta_i\}_{i=1}^N$ on peut écrire la loi de Gauss \[ \sum_i^N E\Delta S_i\cos\theta_i=\sum_i^N E_{i,\perp}\Delta S_i=\frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}, \qquad{(3.30)}\] où $E_{i,\perp}$ est la projection de $\vec E$ sur le vecteur perpendiculaire à la surface $\Delta S_i$.

Une surface conductrice sphérique de rayon $R_0$ et possédant une charge $Q$ distribuée uniformément sur sa surface. Déterminer le champs électrique

Considérations philosophiques: comme la charge est distribuée de façon symétrique, le champs électrique doit également être symétrique. Ainsi la seul façon pour qu’il soit symétrique est qu’il soit en tout point perpendiculaire à la surface et ne dépendre que de $R$, la distance entre le centre de la sphère et le point de l’espace où on mesure le champs électrique.

On va utiliser la loi de Gauss pour résoudre cet exercice. Pour ce faire nous allons choisir deux surfaces différentes comme nous allons le voir ci-après.

En fait ce résultat est valide pour n’importe quelle sphère pleine conductrice chargée. En effet, toutes les charges se repousseraient et se répartiraient uniformément sur sa surface. On se retrouverait dans la même situation que pour la sphère vide.

Résumé

Le potentiel électrique

Tout comme pour le mouvement le concept d’énergie est très important pour l’électricité. Il permet d’étendre le concept de conservation de l’énergie à d’autres domaines qu’à la cinématique ou la dynamique.

L’énergie potentielle électrique

Comme dans le cas de l’énergie mécanique, on va définir l’énergie potentielle électrique comme on le ferait pour une force conservative. Le travail d’une force conservative entre deux points ne dépend pas du chemin parcouru mais uniquement du point de départ et du point d’arrivée. Dans le cas de l’énergie potentielle dûe à la force de gravité, on a que $E=m\cdot g\cdot h$ (avec $m$ la masse, $h$ la hauteur et $g$ l’accélération gravitationnelle). On sait grâce à la loi de Coulomb que la force entre deux charges est donnée par \[\begin{equation*} F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}. \end{equation*}\] Comme pour l’énergie mécanique, on définit l’énergie potentielle d’un objet chargé qui se déplace entre 2 points, $A$ et $B$ (voir fig. 4.1) comme \[ \Delta_{EP}(A,B)=-W_{A\rightarrow B}, \qquad{(4.1)}\] où $\Delta_{EP}(A,B)$ est la variation d’énergie potentielle entre les points $A$ et $B$, et $W(A\rightarrow B)$ le travail du à la force électrostatique. Ici, le travail $W(A\rightarrow B)>0$ et donc la charge va perdre de l’énergie potentielle.

La variation d’énergie potentielle s’écrit donc \[ \Delta_{EP}(A\rightarrow B)=E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A). \qquad{(4.2)}\] Quand une charge $q$ bouge d’un point $A$ à un point $B$ son énergie augmente (ou diminue) comme l’inverse du travail qu’il faut à la force électrostatique pour la déplacer de $A$ à $B$.

Ainsi Dans le cas de fig. 4.1, nous sommes dans une situation où on a un champs électrique uniforme $E$ entre deux plaques infinies. Si on lâche la charge $q$ du point $A$, et qu’on suppose que $q$ est suffisamment petite pour ne pas modifier le champs électrique entre les plaques. La force électrostatique va déplacer la charge du point $A$ au point $B$ sur une distance $d=|A-B|$ et effectuer un travail $W$ \[ W_{A\rightarrow B}=F\cdot d=q\cdot E\cdot d. \qquad{(4.3)}\] Le changement d’énergie potentielle est donc \[ E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)=-q\cdot E\cdot d. \qquad{(4.4)}\] L’énergie potentielle diminue dans ce cas (le travail est positif) et la particule accélère naturellement du point $A$ au point $B$. Ainsi la loi de conservation d’énergie est vérifiée: l’énergie cinétique augmente et l’énergie potentielle (électrique) diminue d’autant. A l’inverse si on remplace la charge $q$ par $-q$ son énergie potentielle sera augmentée lors du déplacement de $A$ à $B$.

Comme pour toute énergie, les unités sont des joules, $[J]$, soit des \[ [J]=[\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}]=\left[\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}\right]. \qquad{(4.5)}\]

Il est important de noter que la valeur de l’énergie potentielle est relative à une valeur de référence. En effet, comme on le voit à l’éq. 4.4, on ne définit que la différence d’énergie potentielle et pas une valeur absolue. En général, on choisit la “valeur de référence” de l’énergie potentielle électrique comme une valeur où l’énergie potentielle est choisie de façon arbitraire comme étant nulle. Ceci n’est pas particulièrement choquant. En effet, c’est une pratique courante avec l’énergie potentielle (on définit le zéro de l’énergie potentielle de gravitation à une “hauteur” zéro mais par rapport à quelle échelle de mesure?).

Le potentiel électrique

Au chapitre précédent, nous avons défini le champs électrique comme la force par unité de charge générée par une source.o Ici, nous allons recommencer en définissant le potentiel électrique, noté $V$, comme le champs électrique par unité de charge. Ainsi si une charge, $q$, se trouve dans un champs électrique à une position $A$, et a une énergie potentielle électrique $E_\mathrm{pot}(A)$, son potentiel électrique est défini par \[ V(A)=\frac{E_\mathrm{pot}(A)}{q}. \qquad{(4.6)}\]

Les unités du potentiel électrique sont les volts, $[V]$. Ils peuvent s’exprimer en fonction des autres unités connues comme \[ [V]=\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}\right]=\left[\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{C}}\right]=\left[\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2\cdot \mathrm{C}}\right]. \qquad{(4.7)}\]

Comme nous l’avons mentionné plus haut seule une différence d’énergie potentielle électrique est mesurable (il nous faut une valeur de référence). De même seule une différence de potentiel électrique peut se mesurer \[ V(B, A)=V(B)-V(A)=\Delta_{EP}(A\rightarrow B)=\frac{E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)}{q}=-\frac{W_{A\rightarrow B}}{q}, \qquad{(4.8)}\] où $A$ et $B$ sont deux points et $W_{B\rightarrow A}$ le travail pour emmener une charge $q$ du point $B$ au point $A$. Tout comme le champs électrique ne dépend pas de la valeur de la charge test, ici le potentiel ne dépend pas de la charge test, $q$, non plus. Le potentiel électrique, $V$, ne dépend des charges qui créent le champs électrique associé. On dit que $q$ acquière l’énergie potentielle électrique en se trouvant dans le potentiel $V$ qui est créé par d’autres charges.

Pour reprendre l’exemple des plaques chargées de la fig. 4.1, on voit que la charge positive $q$ a un potentiel électrique plus grand en $A$ qu’en $B$ et que donc elle va naturellement se déplacer vers $B$.

Afin de définir le potentiel électrique en un point $A$, nous avons besoin d’une valeur de référence comme discuté plus haut. En général cette valeur est choisie arbitrairement comme valant zéro et est le potentiel de la “terre”. Tous les autres potentiels sont donnés par rapport à cette référence.

Reprenons un exemple similaire à fig. 4.1, mais remplaçons la charge par une charge négative (voir fig. 4.2). Aussi elle se trouve au point $B$ et est libre de se déplacer. Que va-t-il se produire? Son énergie potentielle va augmenter ou diminuer? Comment le potentiel électrique varie entre les deux points $A$ et $B$?

Une charge négative va être repoussée par la plaque négative et attirée par la charge positive. Ainsi, $q$ va se déplacer vers la plaque positive, son énergie cinétique va augmenter. A cause du principe de la conservation de l’énergie, son énergie potentielle va donc décroître. On a que \[ E_\mathrm{pot}(A) < E_\mathrm{pot}(B). \qquad{(4.9)}\] En revanche la charge se déplace d’une d’une région avec un potentiel élevé vers un potentiel plus faible. La variation de potentiel électrique (qui est dûe aux plaques) est donc positive contrairement à l’énergie potentielle électrique \[\begin{align} &E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A) > 0,\\ &V(B)-V(A) > 0. \end{align}\] Si la charge $q$ était positive, la variation d’énergie potentielle aurait été négative.

Si on fait faire le chemin inverse à notre charge positive $q$, et qu’on la déplace de $B$ à $A$. On peut inverser la relation entre le potentiel électrique et la variation d’énergie potentielle entre les points $B$ et $A$ pour une charge $q$. On aura donc \[ \Delta_{EP}(B\rightarrow A)=E_\mathrm{pot}(A)-E_\mathrm{pot}(B)=q\cdot V(A, B). \qquad{(4.10)}\] Si la différence de potentiel est de $10\mathrm{V}$, l’énergie potentielle d’une charge de $5\mathrm{C}$ sera augmentée de $50\mathrm{J}$. Une charge de $10\mathrm{C}$, elle, verra son énergie potentielle électrique augmenter de $100\mathrm{J}$ pour le même déplacement.

C’est très similaire avec ce qui se passe pour le cas de l’énergie potentielle de gravitation. Prenons deux personnes de $m_1=50\mathrm{kg}$ et $m_2=100\mathrm{kg}$ qui monte en haut d’un immeuble de $h=20\mathrm{m}$. Le potentiel dû à la gravitation est le même pour les deux en haut de l’immeuble, $g\cdot h=186\mathrm{J}$. En revanche l’énergie potentielle de gravitation des deux objets sera différente. Elle sera de $m_1\cdot g\cdot h\cong 980\mathrm{J}$ pour le premier objet et de $m_2\cdot g\cdot h\cong 1860\mathrm{J}$ pour le second. Évidemment la comparaison n’est pas parfaite, car la charge est de deux types différents, $+$ et $-$, alors qu’il n’y a pas d’équivalent pour la masse.

Supposons qu’un électron au repos est accéléré via une différence de potentiel $V(B,A)=V(B)-V(A)=5000\mathrm{V}$ entre deux plaques chargées. $V(B)$ correspond à la plaque chargée positivement, et $V(A)$ à celle chargée négativement. L’électron se trouve en $B$ au départ et a une vitesse nulle.

La masse et la charge de l’électron sont données par \[ m_e=9\cdot 10^{-31}\ \mathrm{kg},\quad q=-1.6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}. \qquad{(4.11)}\]

\[ v=\sqrt{\frac{-2qV(A,B)}{m}}=4.2\cdot 10^7\frac{\mathrm{m}}{s}. \qquad{(4.15)}\]

Résoudre le même exercice que ci-dessus, mais en remplaçant l’électron par un proton et la différence de potentielle par $-5000\ \mathrm{V}$. La masse d’un proton est de $m=1.67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$.

Afin de se donner une idée de ce que représentent les volts, vous trouverez dans le tbl. 4.1

Lien entre potentiel électrique et champs électrique

Au chapitre précédent, on a décrit un système chargé à l’aide du camps électrique. Dans ce chapitre, nous avons fait une description à l’aide du potentiel électrique. Comme la physique sous-jacente reste identique, cela signifie qu’il doit y avoir un lien entre les deux. Dans cette section nous allons voir comment relier l’un à l’autre dans un cas simplifié, bien qu’on puisse généraliser cela à n’importe quelle situation.

Table 4.1: Différents potentiels et le voltage par rapport à la terre.
Source	Voltage
Éclair	\(10^8\ \mathrm{V}\)
Ligne haute tension	\(10^{5-6}\ \mathrm{V}\)
Démarreur voiture	\(10^4\ \mathrm{V}\)
Prise électrique	\(200\ \mathrm{V}\)
Batterie (AA, AAA)	\(1.5\ \mathrm{V}\)
ECG / EEG	\(10^{-4}\ \mathrm{V}\)

Considérons le cas simple de deux plaques chargées parallèles et infinies (comme sur la fig. 4.1). La différence de potentiel entre ses plaques est de $V(B, A)=V(B)-V(A)$, avec la plaque $B$ qui est de charge positive et la plaque $A$ de charge négative. On va chercher à déterminer quel est le champs électrique entre ces deux plaques à partir de la différence de potentiel $V(A,B)$. Pour ce faire on va utiliser une charge $q>0$ et s’intéresser au travail qu’il faut fournir pour déplacer la charge de la plaque $A$ à la plaque $B$. La charge étant positive, elle sera attirée par $A$ et repoussée par $B$, il faudra donc une force externe pour lui faire effectuer ce trajet. Comme on l’a vu au chapitre précédent, le travail est le produit de la charge avec la différence de potentiel \[ W = -q\cdot (V(B)-V(A))=-q\cdot V(B,A). \qquad{(4.16)}\] Nous savons aussi que le travail est le produit de la force avec la distance parcourue, $d$ (ici la distance entre $A$ et $B$), ainsi \[ W=F\cdot d. \qquad{(4.17)}\] Finalement, la force et le champs électrique sont reliée par (voir le chapitre précédent) \[ F=q\cdot E\Rightarrow W=q\cdot E\cdot d. \qquad{(4.18)}\] En utilisant l’éq. 4.16, on trouve que \[\begin{align} -q\cdot V(B,A)&=q\cdot E\cdot d,\nonumber\\ V(B,A)&=-E\cdot d,\nonumber\\ E&=-\frac{V(B,A)}{d}. \end{align}\] Le signe $-$ dans cette relation indique que la direction du champs électrique est opposée à la direction dans laquelle le potentiel diminue. On voit aussi de cette équation que les unités du champs électrique peuvent également s’exprimer comme des \[ [E]=\left[\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\right]=\left[\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\right], \qquad{(4.19)}\]

Ici nous avons une grande simplification qui a été faite. En effet, nous considérons un système unidimensionnel où le champs électrique est uniforme. En général le champs électrique est une quantité vectorielle et qui varie dans l’espace et donc le lien entre $\vec E$ et $V$ est plus compliqué. Néanmoins, cela est laissé pour un cours plus avancé, car les concepts mathématiques nécessaires dépassent les connaissances que vous avez acquises jusqu’ici.

Deux plaques parallèles sont chargées pour produire une différence de potentiel de $50\ \mathrm{V}$. Si l’écarte entre les plaques est de $5\ \mathrm{mm}$, calculer l’amplitude du champs électrique entre les plaques.

On applique simplement l’équation \[\begin{equation*} E=\frac{V(B,A)}{d}=\frac{50}{0.005}=10000\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}. \end{equation*}\]

Plus généralement, dans une région où $E$ ne serait pas uniforme, on peut montrer que le champs électrique est proportionnel au taux de variation spatial du potentiel électrique et a la direction opposée \[ E=-\frac{\Delta V}{\Delta x}, \qquad{(4.20)}\] où $\Delta V$ est la variation du potentiel sur une petite distance $\Delta x$.

Soit une charge ponctuelle $Q$. A partir de la formule du champ électrique et de ce que nous venons de voir. Déterminer le potentiel électrostatique engendré par une charge ponctuelle à une distance $r$ de la charge.

La capacité électrique

Un condensateur est un objet qui est constitué de deux conducteurs (souvent des plaques ou des feuilles) qui sont placées l’une proche de l’autre mais qui ne se touchent pas. Les condensateurs se trouvent dans un grand nombre de circuits électroniques. Ils servent à stocker des charges électriques qui peuvent être utilisées à un moment ultérieur. Ils permettent aussi d’empêcher les variations trop rapides de puissance électrique et ainsi protègent les circuits. On a pu aussi les utiliser pour la mémoire des ordinateurs dans des versions miniaturisées.

Les capacités sont représentées dans des circuits électriques pas un symbole comme si la fig. 4.3

Si on applique un voltage (un potentiel), $V$, entre les deux plaques en les connectant à une batterie ou à une prise électrique par exemple, une des deux plaques va être chargée négativement tandis que l’autre sera chargée positivement avec des charges respectivement $-Q$ et $Q$. La charge du condensateur est proportionnelle à la différence de potentiel au bords du condensateur, ici c’est $V$, le potentiel de la batterie ou de la prise. On a que \[ Q=C\cdot V, \qquad{(4.21)}\] où $C$ est la capacité du condensateur et qui a des unités de Coulombs par Volts, appelés farad, $[\mathrm{F}]$. Les capacités standards se situent entre $1\mathrm{pF}=10^{-12}\mathrm{F}$ et $1\mu\mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$.

Ici, nous voyons facilement qu’on pourrait aisément confondre la capacité $C$, avec les unités $\mathrm{C}$, (les Coulombs) et le voltage $V$ avec les volts. C’est un peu malheureux, mais il faudra être un peu vigilant pour éviter les erreurs malencontreuses.

La capacité, $C$, ne dépend en général ni du voltage, ni de la charge du condensateur. Elle ne dépend que de la forme et de la surface des plaques ainsi que de la distance entre elles et le matériau qui les sépare. Ainsi pour des plaques parallèles de surface $S$ et séparées par une distance $d$, on a \[ C=\epsilon_0\frac{S}{d}, \qquad{(4.22)}\] où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide qu’on a déjà vu plus tôt dans ce condensateurs \[ \epsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2}. \qquad{(4.23)}\]

Il existe une grande quantité d’applications pour les condensateurs: ils peuvent servir de remplacement pour les batteries, sont à la base du fonctionnement des microphones ou des touches de certains claviers.

Une touche de clavier, dans certains cas, peut être attachée à une plaque de condensateur mobile, alors que la seconde est fixe. Entre les plaques est situé un isolant qui a des propriétés élastiques. Lorsque la touche est pressée, l’isolant se comprime et la distance entre les plaques du condensateurs change. Cela modifie le champs électrique entre les plaques du condensateur qui peut ensuite être détecté par un circuit électrique.

La charge d’un condensateur est reliée à la tension maximale qui peut être appliquée entre ses plaques, sans que la charge puisse traverser et former un arc électrique (comme cela se produit lorsque la charge passe des nuages à la terre lors d’un orage). Ce phénomène s’appelle claquage électrique. Cette tension dépend du matériau séparant les deux plaques.

Jusqu’ici, nous avons supposé qu’il y a de l’air (ou du vide) entre les plaques d’un condensateur. En général, on insère un isolant, comme du plastique, entre les plaques. Cet isolant est appelé un diélectrique.

Soit un condensateur composé de deux plaques séparées d’une distance $d$ et connecté à une batterie de voltage constant $V$ qui acquière une charge $Q$. Si on insère un diélectrique avec $K>1$ entre les plaques, est-ce que $Q$ va augmenter, diminuer, ou rester le même?

Le voltage $V$ reste constant, alors que $C$ augmente à cause de la relation $C=K\epsilon_0 S/d$. On déduit donc de la relation $Q=CV$ que $Q$ doit augmenter pour $K>1$. Ainsi, quand on insère un diélectrique dans un condensateur plus de charges seront retirées de la batterie pour être amenées sur les plaques du condensateur.

Soit un condensateur composé de deux plaques séparée par de l’air, chargé à une charge $Q$ et déconnecté de la batterie. On insère ensuite un diélectrique avec $K>1$. Est-ce que $Q$, $V$, ou $C$ vont changer?

La charge $Q$ reste la même comme le condensateur est isolé du reste du monde. La capacité elle augmente à cause de la permittivité augmentée. Ainsi la tension entre les plaque diminue à cause de $V=Q/C$.

Description moléculaire des diélectriques

D’un point de vue phénoménologique, il est intéressant de comprendre pourquoi la présence d’un diélectrique augment la capacité d’un condensateur. Un condensateur dont les plaques sont séparées par de l’air aura une capacité $C_0$ et s’il est soumis à une tension $V_0$ aura une charge $Q$. Si nous insérons un diélectrique entre les plaques, à cause du champs électrique entre les plaques, les charges à l’intérieur du diélectrique vont se déplacer légèrement (les électrons vont s’approcher de la charge positive et laissant les protons plus proches de la charge négative). Cela va créer une petite charge nette négative du côté de la plaque positive et une petite charge positive du côté de la plaque négative. Cela aura pour effet “d’annuler” certaines lignes de champs à l’intérieur du diélectrique (mais pas toutes) et ainsi le voltage est également réduit (pour une charge constante).

Résumé

Le courant électrique

Dans les précédents chapitres, nous avons étudié les charges statiques (au repos). Ici, nous allons nous intéresser aux au mouvement des charges, plus communément appelés courants électriques.

Les courants électriques sont omniprésents dans notre vie quotidienne: ils servent à allumer les ampoules, faire fonctionner les ordinateurs (et plus globalement les engins électriques), etc. Les courants électriques se produisent en général à l’intérieur de fils conducteurs. Afin de déplacer ces charges, il est également nécessaire qu’elles soient soumises à un champs électrique. Hors dans les chapitres précédents, nous avons vu qu’à l’intérieur d’un conducteur le champs électrique est nul. Cela pourrait sembler paradoxal, mais dans le cas des courants électriques, les charges sont en mouvement (contrairement à ce qui se passait dans le chapitre précédent où on étudiait ce qui se passait dans le cas statique). Ainsi quand les charges bougent, un champs électrique est présent à l’intérieur du conducteur, et il est même nécessaire pour faire bouger les charges. Afin de contrôler ce champs électrique, nous pouvons donc utiliser le champs électrique ou le potentiel électrique (aussi appelé voltage dans la vie quotidienne). La différence de potentielle nécessaire peut être produite à l’aide d’une batterie par exemple (ou une centrale nucléaire).

La batterie électrique et son fonctionnement en 5min

Inspiré par des travaux sur les muscles des pattes de grenouilles qui se contractaient quand on on les touchait avec des métaux différents, M. Volta inventa la batterie (en 1800). La batterie produit un courant électrique en transformant de l’énergie chimique en énergie électrique. Nous décrivons ici une batterie simplifiée, pour illustrer leur fonctionnement général. Deux électrodes (des tiges ou des plaques métalliques) sont plongées dans une solution appelée électrolyte (voir fig. 5.1). Ce système s’appelle une cellule électrique et en connectant plusieurs cellules on obtient une batterie (en fait une cellule suffit de nos jours).

L’électrolyte dissout l’électrode négative (-), ses constituants en se dissolvant “abandonnent” des électrons et forment des ions (atomes chargés) positivement. Ainsi, l’électrolyte se charge positivement ce qui a pour effet d’arracher des atomes sur l’électrode positive (+). Il y a donc une différence de charge entre les deux électrode et on crée ainsi une différence de potentiel entre les 2 électrodes. Comme vu dans le chapitre précédent on peut utiliser cette différence de potentiel pour mettre les charges en mouvement.

La fig. 5.2 représente la notation pour la source de tension (batterie ou toute autre source)

Le courant électrique

En connectant les deux électrode avec une fil conducteur, on construit un circuit électrique. Ce circuit peut contenir tout un tas d’autres choses comme par exemple une ampoule (led parce qu’elles consomment moins). Dans le circuit les charges peuvent se déplacer librement, et donnent ainsi lieu à un courant électrique. Le courant électrique, $I$, est définit comme la variation de charge ($\Delta Q$) pendant un certain laps de temps ($\Delta t$) donné \[ I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}. \qquad{(5.1)}\] Les unités de $I$ sont les ampères, notées, $[\mathrm{A}]$

Comment exprime-t-on les unités du courant en fonction d’autres unités vues précédemment dans ce cours?

Un courant électrique ne peut passer qu’à condition qu’un chemin continu existe pour faire passer le courant. S’il y a une discontinuité le courant ne peut pas passer (voir fig. 5.3).

Dans le cas d’un courant continu, le courant est le même à n’importe quel point d’un circuit fermé. Ce fait est la conséquence de la conservation de la charge: la batterie ou un appareil électrique ne détruisent ni ne créent de charges nettes.

Imaginons qu’un courant continu de $2.5\ \mathrm{A}$ passe dans un circuit pendant 5 minutes. Quelle est la charge totale qui est passée dans le circuit? Combien d’électrons cela fait?

Le courant étant la charge par unité de temps, on peut écrire \[ \Delta Q = I \cdot \Delta t = 2.5\cdot 300=750\mathrm{C}. \qquad{(5.3)}\] Nous savons que la charge élémentaire est $e=1.6\cdot 10^{-19}$. On a donc que \[ \frac{750}{e}\cong 4.7\cdot 10^{21}\mbox{ électrons}. \qquad{(5.4)}\]

Il existe une convention pas très intuitive pour le sens du courant dans un circuit qu’il vaut la peine de discuter ici. En effet, le sens du courant est vu comme le déplacement de charges positives (bien que ça soit les électrons qui se déplacent). Ainsi, le sens du courant est opposé au sens de déplacement des électrons (voir fig. 5.4).

La loi d’ohm

La loi d’Ohm relie le courant, $I$, passant dans un circuit à la différence de potentiel qui lui est appliqué. Il s’avère que Ohm détermina que ces deux grandeurs sont proportionnelles (si on double le potentiel on double le courant) et la constante de proportionnalité est $R$, la résistance \[ V = R\cdot I. \qquad{(5.5)}\] Cette formule est connue sous le petit nom de Loi d’Ohm. Il s’avère que $R$ est indépendante de la tension ou du courant pour des métaux (ce n’est pas le cas pour d’autres types de matériaux comme les diodes, les transistors, etc.).

Si pour un matériau de résistance $R$, nous traçons un graphique du courant $I$ en fonction de la tension $V$, quelle sera la forme de la fonction obtenue?

Comme nous savons que $R$ est une constante, et que \[ I=\frac{V}{R}, \qquad{(5.6)}\] la fonction sera une droite de pente $1/R$.

Les unités de la résistance sont les Ohm, notées $\Omega$. Dans un circuit électrique la résistance est représentée par le symbole de la fig. 5.5

Un courant $I$ passe dans une résistance $R$. Soient $A$ et $B$ un point du circuit avant la résistance et $B$ un point après la résistance. Est-ce que le potentiel est plus élevé en $A$ ou en $B$? Est-ce que le courant est plus élevé en $A$ ou en $B$?

Une charge positive se déplace de + à - (d’un haut potentiel à un faible potentiel). Pour reprendre l’analogie avec le potentiel gravitationnel, une masse va se déplacer d’un haut potentiel gravitationnel à un faible. Ainsi pour un courant positif, le point $A$ a un potentiel plus élevé que le point $B$.

Pour le courant en revanche, la conservation de la charge que toute charge entrant dans la résistance doive en sortir avec le même taux (sinon la charge s’accumulerait, disparaîtrait, dans la résistance). Le courant n’est ainsi pas consommé à l’intérieur d’une résistance, tout comme une masse n’est pas consommée lorsqu’elle se déplace dans un champs gravitationnel.

La puissance électrique

Dans les applications quotidiennes, l’énergie électrique est souvent transformée en d’autres formes d’énergie:

Dans le cas de corps de chauffe, le processus de chauffage s’obtient car les électrons entrent en collision avec les atomes du corps de chauffe et leur transfèrent leur énergie cinétique. Les atomes augmentent ainsi leur énergie cinétique et la température augmente (on ne va pas entrer dans les détails de comment cette température est ensuite transférée au reste du monde).

La puissance électrique, $P$, est l’énergie transformée par unité de temps \[ P=\frac{\mbox{énergie transformée}}{\mbox{temps}}. \qquad{(5.7)}\]

Quelle est l’énergie transformée par une charge $Q$ se déplaçant dans un champs $V$?

On se souvient que le potentiel électrique en un point $A$ est le potentiel l’énergie potentielle ($E_\mathrm{pot}$) par unité de charge \[ V(A)=\frac{E_\mathrm{pot}(A)}{Q}. \qquad{(5.8)}\] La différence d’énergie potentielle entre deux points ($A$ et $B$) est donc \[ E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)=V\cdot Q. \qquad{(5.9)}\]

Ainsi la puissance électrique est donnée par \[ P=\frac{QV}{t}. \qquad{(5.10)}\] On se souvient que $I=Q/t$ (la charge déplacée par unité de temps) et on obtient \[ P=V\cdot I. \qquad{(5.11)}\] A présent, si on veut connaître l’énergie dissipée par unité de temps dans une résistance $R$ on peut utiliser la fameuse loi d’Ohm ($V=R\cdot I$) et on obtient \[ P=R\cdot I^2, \qquad{(5.12)}\] ou \[ P=\frac{V^2}{R}. \qquad{(5.13)}\]

Calculer la résistance de l’ampoule de $40\mathrm{W}$ d’une voiture fonctionnant à un voltage de $12\mathrm{V}$.

Connaissant la puissance $P=40\mathrm{W}$ et le voltage $V=12\mathrm{V}$, on peut utiliser \[ R=\frac{V^2}{P}=\frac{144}{40}=3.6\Omega. \qquad{(5.14)}\]

Votre facture d’électricité (ou celle de vos parents) est exprimée en kilowatt-heure

Comme son nom l’indique (ou pas) le kilowatt-heure est un kilowatt (donc une puissance) utilisée pendant une heure. C’est donc une puissance multipliée par un temps ce qui donne une énergie (mesurée en joules). Plus précisément, on a \[ 1 \mathrm{kWh}=1000\cdot 3600=3.6\cdot 10^6\mathrm{J}. \qquad{(5.15)}\]

La foudre est un phénomène naturel très violent qui transfère une énergie d’environ $10^9\mathrm{J}$ pendant un temps de $0.2\mathrm{s}$. La différence de potentiel électrique est d’environ $5\cdot 10^7\mathrm{V}$. Avec ces informations estimer la charge totale transférée entre les nuages et le sol, le courant dans la foudre, et la puissance moyenne libérée.

Avec l’équation $E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)=V\cdot Q$, on peut déduire que \[ Q=\frac{E_\mathrm{pot}(B)-E_\mathrm{pot}(A)}{V}=20\mathrm{C}. \qquad{(5.16)}\] Le courant est donc donné par \[ I=\frac{Q}{t}=\frac{20}{0.2}=100\mathrm{A}. \qquad{(5.17)}\] Finalement la puissance est de \[ P=\frac{\mbox{énergie}}{\mbox{temps}}=5\cdot 10^9\mathrm{W}. \qquad{(5.18)}\] On voit qu’on obtient le même résultat avec \[ P=I\cdot V=100\cdot 5\cdot 10^7=5\cdot 10^9\mathrm{W}. \qquad{(5.19)}\] Et c’est une bonne nouvelle.

Soit un chauffage portatif dont le voltage de fonctionnement est de $230\mathrm{V}$ et un courant de $7\mathrm{A}$. Quelle est la puissance nécessaire pour le faire fonctionner? Si le chauffage fonctionne deux heures par jour et que le coût du kilowatt-heure est de $0.3$ CHF. Quel est le coût total mensuel du chauffage portatif?

Le courant alternatif

Lorsqu’une batterie est connectée à un circuit le courant est continu: les charges bougent de façon uniforme dans une seule direction. Le courant qu’on obtient de la part des SIG est lui alternatif (voir fig. 5.6).

Le courant alternatif modifie la direction du courant plusieurs fois par seconde (environ 6 fois par seconde dans le cas de la fig. 5.6). Le voltage produit par les générateurs alternatifs dépend du temps et peut être décrit par une fonction sinusoïdale \[ V(t)=V_0\sin(2\pi f t)=V_0\sin(\omega t), \qquad{(5.20)}\] où le voltage oscille entre $-V_0$ et $V_0$ et est le voltage de pic. La fréquence $f$ est le nombre d’oscillation par seconde du voltage (en Suisse la fréquence est de $50\mathrm{Hz}$), et $\omega=2\pi f$ est la pulsation.

La loi d’Ohm, $V=R\cdot I$, nous permet d’obtenir le courant dans un circuit dont la résistance serait $R$, avec \[ I(t)=\frac{V(t)}{R}=\frac{V_0}{R}\sin(\omega t)=I_0\sin(\omega t), \qquad{(5.21)}\] où $I_0=V_0/R$ est le courant de pic. On voit ici que le courant peut être positif ou négatif et donc que les charges se déplacent dans les deux directions.

Le courant comme le voltage alternatif ont une moyenne nulle de voltage et de courant, cela ne signifie pas que les charges ne transportent pas d’énergie. En effet, on a pour la puissance \[ P(t)=I^2(t)\cdot R=I_0^2\cdot R\cdot \sin^2(\omega t). \qquad{(5.22)}\] On voit de ce résultat (voir fig. 5.7) que la puissance est toujours positive (toutes les grandeurs sont positives dans cette formule).

La puissance moyenne, $\overline{P}$, est facilement calculée (on va le faire le calcul ici, mais on le voit bien sur l’illustration de fig. 5.7) et est donnée par \[ \overline{P}=\frac{1}{2}I_0^2R=\frac{1}{2}\frac{V_0^2}{R}. \qquad{(5.23)}\]

Mais me direz-vous, de quelle tension parlons-nous quand on parle de $230\mathrm{V}$ à Genève? Est-ce la tension moyenne?

La tension moyenne d’un courant alternatif est nulle (oui la moyenne d’une fonction sinusoïdale est nulle). En revanche on peut calculer la moyenne du carré de la tension (ou du courant respectivement) \[\begin{equation} \overline{V^2}=\frac{1}{2}V_0^2,\quad \overline{I^2}=\frac{1}{2}I_0^2. \end{equation}\] On va pas voir comment on calcule ce résultat mais c’est assez intuitif, comme le $\sin^2(x)\in [0,1]$ la moyenne doit être la moitié de la valeur maximale du dit sinus. Afin d’avoir les “bonnes” unités, on voit qu’on doit encore prendre la racine carrée de la moyenne et donc calculer l’écart-type (ou “root-mean-square” en anglais). \[\begin{align} I_\mathrm{rms}&=\sqrt{\overline{I^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}I_0,\\ V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\overline{V^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}V_0. \end{align}\] Ces deux valeurs sont également appelées valeurs de courant et de tension effectives. Ainsi c’est $V_\mathrm{rms}$ qui est de $230\mathrm{V}$ en Suisse. Ces deux valeurs permettent également de retrouver la valeur de la puissance moyenne \[\begin{align} \overline{P}&=V_\mathrm{rms}I_\mathrm{rms},\\ \overline{P}&=\frac{1}{2}I_0^2R=I^2_\mathrm{rms}R,\\ \overline{P}&=\frac{1}{2}\frac{V_0^2}{R}=\frac{V^2_\mathrm{rms}}{R}. \end{align}\] Ainsi la tension de pic, $V_0$ est donnée par \[\begin{equation} V_0=\sqrt{2}V_\mathrm{rms}=325\mathrm{V}. \end{equation}\]

Calculer la résistance et le courant de pic dans un sèche-cheveux de $1000\mathrm{W}$ branché sur une source de tension de $230\mathrm{V}$. Que se passe-t-il aux USA où la tension est de $120\mathrm{V}$ seulement?

De l’équation \[\begin{equation*} \overline{P}=I_\mathrm{rms}V_\mathrm{rms}, \end{equation*}\] on obtient \[\begin{equation*} I_\mathrm{rms}=\frac{\overline{P}}{V_\mathrm{rms}}=\frac{1000}{230}=4.35\mathrm{A}. \end{equation*}\] Ainsi le courant de pic est donné par \[\begin{equation*} I_0=\sqrt{2}I_\mathrm{rms}=6.15\mathrm{A}. \end{equation*}\] La résistance est donc donnée par \[\begin{equation*} R=\frac{V_\mathrm{rms}}{I_\mathrm{rms}}=\frac{V_0}{I_0}=\frac{325}{6.15}=52.8\Omega. \end{equation*}\] Aux USA, la tension étant de $120\mathrm{V}$, on obtient pour la puissance $\overline{P}$ disponible \[\begin{equation*} \overline{P}=\frac{V_\mathrm{rms}^2}{R}=\frac{120^2}{52.8}=272\mathrm{W}. \end{equation*}\] On voit qu’on risque d’avoir un problème pour faire fonctionner notre sèche cheveux à plein régime. A l’inverse un sèche-cheveux américain va très probablement griller si on le branche en Europe.

Les circuits électriques

Les circuits électriques sont les composants de bases de toute l’électronique. Nous allons décrire les circuits les plus simples ici sans aller dans des cas trop avancés.

Les résistances en série et en parallèle

Quand deux résistances ou plus sont connectées bouts à bouts sur un seul chemin comme sur la fig. 6.1 on dit qu’elles sont branchées en série.

Toutes les charges passant par $R_1$ passera aussi par $R_2$ et $R_3$. On sait donc que le courant sera le même au travers de chaque résistance, sinon cela impliquerait que les résistances créeraient ou stockeraient des charges ce qui n’est pas observé dans les circuits (ou que la conservation de la charge ne serait pas respectée). Le voltage $V$ (également appelée tension) et on suppose que les fils ont une résistance négligeable (nulle). On a que $V_1$, $V_2$, et $V_3$ sont les différences de potentiels au travers de chaque résistance. On sait de la loi d’Ohm que \[\begin{equation*} V=RI, \end{equation*}\] et donc \[\begin{equation*} V_1=R_1 I,\quad V_2=R_2 I,\quad V_3=R_3 I. \end{equation*}\]

L’énergie étant conservée, on a naturellement que \[ V=V_1+V_2+V_3. \qquad{(6.1)}\]

On déduit de cette relation que \[ V=R_1I+R_2I+R_3I=(R_1+R_2+R_3)I, \qquad{(6.2)}\] et donc qu’on peut remplacer les trois résistances par une résistance équivalente (ou nette), où \[ R_\mathrm{eq}=R_1+R_2+R_3. \qquad{(6.3)}\]

Soit une source de tension qui produit un courant continu de $12\mathrm{V}$ et trois résistances en série de $3\Omega$ chacune connectées au circuit comme sur la fig. 6.1. Quelle est le courant total dans le circuit?

Les trois résistances étant connectées en série, ce circuit est équivalent à un circuit avec une seule résistance de $R=R_1+R_2+R_3=9\Omega$. En utilisant ensuite la loi d’Ohm on obtient \[ I=V/R=12 / 9=4\mathrm{A}. \qquad{(6.4)}\]

Une autre façon simple de connecter eds résistances sur un circuit est en parallèle (voir fig. 6.2). Les charges dans ce circuit suivent trois chemins différents et donc le courant total, $I$, est séparé en trois parties (pas forcément égales), $I_1$, $I_2$, et $I_3$. \[ I=I_1+I_2+I_3. \qquad{(6.5)}\] Dans ce type de circuit le courant n’est pas interrompu si une des résistances est déconnectée (dans le cas où un des appareils que la dite résistance représente arrête de fonctionner par exemple).

Quand les résistances sont en parallèle, le voltage qui les traverse doit être le même. En effet, étant donné qu’on néglige la résistance des fils, deux points connectés directement entre eux ont le même voltage. Ainsi, on a pour les courants \[ I_1=\frac{V}{R_1},\quad I_2=\frac{V}{R_2},\quad I_3=\frac{V}{R_3}. \qquad{(6.6)}\] De plus on sait de la loi d’Ohm, qu’on doit pouvoir remplacer les trois résistances par une unique résistance équivalent, $R_\mathrm{eq}$, avec \[ I=\frac{V}{R_\mathrm{eq}}. \qquad{(6.7)}\] En mélangeant les 3 équations ci-dessus (voir éq. 6.5, éq. 6.6, et éq. 6.7), on obtient \[ \frac{V}{R_\mathrm{eq}}= \frac{V}{R_1}+ \frac{V}{R_2}+ \frac{V}{R_3}, \qquad{(6.8)}\] et on déduit \[ \frac{1}{R_\mathrm{eq}}= \frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}. \qquad{(6.9)}\]

Soit une source de tension qui produit un courant continu de $12\mathrm{V}$ et trois résistances en parallèle de $3\Omega$ chacune connectées au circuit comme sur la fig. 6.2. Quelle est la résistance équivalente?

Les trois résistances étant connectées en parallèle, on a que la résistance équivalente est \[ \frac{1}{R_\mathrm{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}=1\frac{1}{\Omega}. \qquad{(6.10)}\] La résistance équivalente est donc de $R_\mathrm{eq}=1\Omega$.

On voit de l’exemple ci-dessus que la résistance équivalente est moindre que les résistances individuelles dans le cas où elles sont branchées en parallèle. Ceci peut paraître contre intuitif, mais c’est en fait assez raisonnable. Le circuit en parallèle permet aux charges de prendre différents chemins. Pour prendre une analogie, on peut imaginer le cas d’un barrage contenant de l’eau et deux tuyaux identiques reliant le barrage à la vallée. Le potentiel gravitationnel en haut du barrage est le même indépendamment du nombre de tuyaux. Quand on ouvre deux tuyaux on a deux fois plus d’eau qui s’écoule que si on en ouvre un seul (on a d’une certaines façon la résistance globale qui est divisée par deux). C’est un effet similaire pour les résistances en parallèle. Par ailleurs, si on ferme les vannes des deux tuyaux l’eau ne s’écoule plus. Cela est équivalent à un circuit ouvert (où le circuit ne se referme pas) où le courant ne peut s’écouler.

Soient deux ampoules identiques (et avec la même résistance). Quelle configuration produit le plus de lumière (série ou parallèle)? Dans quelle configuration est-il plus raisonnable de les brancher dans une voiture?

La résistance équivalente est plus faible en parallèle qu’en série, le courant total est plus élevé dans le cas parallèle. Ainsi, comme le voltage est le même dans les 2 cas, la puissance totale est plus élevée dans le cas parallèle \[ P=VI. \qquad{(6.11)}\] De plus, brancher les ampoules en parallèle permet d’avoir une ampoule qui fonctionne même si l’autre rend l’âme ce qui est quand même plus sûr.

Deux résistances de $100\Omega$ sont connectées en parallèle ou en série sur une batterie de $24\mathrm{V}$. Quel est le courant total dans chaque circuit? Et la résistance équivalente?

On peut faire évidemment beaucoup plus compliqué. Et on va le faire immédiatement.

La méthodologie globale pour résoudre ce genre d’exercice, est de déterminer la résistance équivalente du circuit en le décomposant en sous-circuits série/parallèle puis en utilisant la loi d’Ohm.

Puis vient le temps de calculer la résistance équivalente des résistances de $6\Omega$ et $2.7\Omega$. Ces résistances sont en série, donc il suffit de les sommer et on a $R_\mathrm{eq2}=6+2.7=8.7\Omega$ (voir fig. 6.5)

On a à présent les résistances de $10\Omega$ et $8.7\Omega$ qui sont en parallèle et on calcule \[ \frac{1}{R_\mathrm{eq3}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{8.7}=0.21\frac{1}{\Omega}, \qquad{(6.13)}\] et il vient $R_\mathrm{eq3}=4.8\Omega$ (voir fig. 6.6).

Finalement, on a trois résistances en série qu’on peut simplement sommer et il vient \[ R_\mathrm{eq}=0.5+5+4.8=10.3\Omega. \qquad{(6.14)}\]

On peut à présent calculer le courant dans le circuit avec la loi d’Ohm \[ V=R_\mathrm{eq}I\Leftrightarrow I=\frac{9}{10.3}=0.87\mathrm{A}. \qquad{(6.15)}\]

Pour des circuits beaucoup plus compliqués que ceux vus ici, il faut noter qu’il y a un ensemble de règles qu’on peut appliquer pour déterminer le courant dans un circuit: les lois de Kirchhoff. Il s’agit d’un certain nombre de règles très pratiques qui sont des applications des lois de conservation que nous avons déjà vues.

Le première loi de Kirchhoff est basée sur la loi de conservation de la charge électrique. Elle dit que:

À une intersection, la somme de tous les courants entrant dans l’intersection, doit être égale à la somme des courants quittant l’intersection.

Pour résumer, tout ce qui entre à une intersection doit en sortir (sinon ça voudrait dire qu’il y a une fuite ou une source quelque part). Par exemple sur la figure fig. 6.7, on voit qu’à l’intersection $a$, on a le courant $I_1$ qui est entrant, et les courant $I_2$ et $I_3$ qu sont sortants. Ainsi on a $I_1=I_2+I_3$.

La seconde loi de Kirchhoff, est une application de la conservation de l’énergie. Elle dit que sur n’importe quelle chemin fermé, le changement de potentiel doit être nul.

Ainsi sur la fig. 6.8, on a deux résistances, $R_1$ et $R_2$, ainsi qu’ûn potentiel $V$. Si on démarre du point $a$, on a un potentiel $V$ qui est inchangé. Puis au point $b$, avant $R_1$, on a toujours le même potentiel. Au point $c$, on a une première chute de potentiel, car $R_1$ est passée par là. Puis en $d$ on atteint un potentiel nul (toute l’énergie a été consommée) après avoir passé $R_2$. Le potentiel en $e$ est toujours nul. Puis on repasse par la batterie, et on revient en $a$ pour fermer la boucle. En $a$ on a avoir à nouveau un potentiel $V$ et ainsi on voit que le changement de potentiel est nul.

Nous avons déjà analysé de tels circuits précédemment. On si $V$, $R_1$ et $R_2$ sont donnés, nous avons que \[\begin{align} V=(R_1+R_2)I,\nonumber\\ I=\frac{V}{R_1+R_2}. \end{align}\] La charge et le courant étant conservés, on a que le courant passant par $R_1$ et $R_2$ est toujours le même. On a donc que $V_{cb}=-IR_1$ et $V_{dc}=-IR_2$ (contrairement $V$ qui lui est positif). Ces deux voltage sont négatifs car ils vont faire baisser le potentiel. On a donc finalement que \[ V+V_{cb}+V_{dc}=0. \qquad{(6.18)}\]

Les circuits contenant des capacités en parallèle ou en série

Comme les résistances, les capacités peuvent être placée en série ou en parallèle. Pour le cas parallèle (voir fig. 6.9) chaque capacité est soumise à la même différence de potentiel $V$. Ainsi les 3 capacités ont les charges \[ Q_1=C_1 V,\quad Q_2=C_2 V,\quad Q_3=C_3 V. \qquad{(6.19)}\] La conservation de la charge impose que la charge totale sortant de la source de tension est donnée par \[ Q=Q_1+Q_2+Q_3. \qquad{(6.20)}\]

Si nous essayons de décrire ce circuit sous forme de circuit équivalent avec une seule capacité, \[ Q=C_\mathrm{eq}V, \qquad{(6.21)}\] on voit que \[\begin{align} C_\mathrm{eq}V&=Q_1+Q_2+Q_3,\nonumber C_\mathrm{eq}V&=(C_1+C_2+C_3)V,\nonumber C_\mathrm{eq}&=C_1+C_2+C_3. \end{align}\]

Le voltage total au travers de toutes les capacités doit être donné par la somme des voltages au travers de chaque capacité \[ V=V_1+V_2+V_3. \qquad{(6.22)}\] On sait aussi que le charge est la même sur chaque capacité (conservation de la charge) et donc \[ Q=C_1V_1=C_2V_2=C_3V_3. \qquad{(6.23)}\] On peut réécrire éq. 6.22 comme \[ \frac{Q}{C_\mathrm{eq}}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}+\frac{Q}{C_3}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}\right). \qquad{(6.24)}\]

Les circuits RC

Souvent les capacités et résistances sont connectées en série dans les circuits électriques (voir fig. 6.11). C’est même un composant essentiel dans quasiment tous les circuits du monde. Ces circuits sont particulièrement utiles quand les courant n’est pas stationnaire (qu’il dépend du temps). Dans cette section on va analyser les circuits RC dans certains cas particuliers.

La charge du condensateur

Quand le circuit RC est fermé, le courant s’établit dans le circuit, les charges vont se mettre en mouvement et s’accumuler sur le condensateur. Au fur et à mesure que les charges s’accumulent sur le condensateur, la tension entre les plaques augmente aussi (on se souvient de la fameuse formule $V_C=Q/C$) jusqu’à atteindre la valeur de celle de la source de voltage (la batterie). A ce moment là, il n’y a plus de courant et plus de différence de potentiel entre les bornes de la résistance. Le potentiel entre les plaques du condensateur est donné par l’équation (voir fig. 6.12) \[ V_C=V(1-\exp{(-t/(RC))}). \qquad{(6.25)}\] On voit bien qu’à $t=0$, le potentiel et nul et qu’avec $t\rightarrow \infty$ on tend vers $V_C=V$.

Les unités de la résistance sont des Ohm, $[\Omega]=[\mathrm{V}]/[\mathrm{A}]$ et $[\mathrm{A}]=[\mathrm{C}]/[\mathrm{s}]$, et la capacité, des Farad, $[\mathrm{F}]=[\mathrm{C}]/[\mathrm{V}]$. Il vient que les unités de $R\cdot C$ sont des …. secondes!

On appelle \[ \tau=RC, \qquad{(6.26)}\] la constante de temps du circuit. Cette grandeur donne le temps caractéristique qu’il faut pour que la tension (et la charge) dans le condensateur atteigne $63\%$ de la valeur maximale de la tension de la batterie.

Comme $Q=V_C\cdot C$, on a immédiatement que \[ Q=Q_0(1-e^{-t/(RC)}), \qquad{(6.27)}\] avec $Q_0=$VC$.

La décharge du condensateur

Maintenant que nous avons chargé le condensateur, si nous ouvrons le circuit celui-ci va se décharger. Si nous avons une tension $V_0$ dans le condensateur va se décharger en suivant une exponentielle décroissante (voir #fig:rc_decharge) \[ V_C=V_0e^{-t/(RC)}. \qquad{(6.28)}\] Comme pour la charge $\tau=RC$, nous donne le temps qu’il faut pour que la tension dans le condensateur diminue de $63\%$ de $V_0$. La charge dans le condensateur suit la même tendance, avec \[ Q=Q_0e^{-t/(RC)}, \qquad{(6.29)}\] où $Q_0=V_0 C$.

Si un condensateur de $C=10\mu \mathrm{F}$ est connectée à une résistance de $R=100\Omega$ et possède une tension de $V_0$. Quand le condensateur se décharge, combien de temps faut-il pour que sa tension tombe à $10\%$ de sa valeur originale?

Comme la tension d’un condensateur se diminue comme \[\begin{equation*} V_C=V_0e^{-t/(RC)}, \end{equation*}\] et qu’on veut connaître le temps nécessaire pour que $V_C=0.1V_0$, on peut écrire l’équation \[\begin{align*} 0.1V_0&=V_0e^{-t/(RC)},\\ 0.1&=e^{-t/(RC)},\\ 0.1&=e^{-t/(10^{-5}\cdot 100)},\\ \ln{0.1}&=-10^3t,\\ t&=0.0023\mathrm{s}. \end{align*}\]

Remerciements

Je voudrais remercier (par ordre alphabétique) les contributeurs à ce cours qui ont contribué à améliorer ce polycopié. En espérant que cette liste continuera à s’allonger avec les années. Merci à A. Benzonana, F. Burgener, T. Cavagna, S. Crockett, M. El Kharroubi, P. Montandon, F. Obaly, I. Saroukhanian, C. Volta, et J. Vouillamoz.

Cela peut être très pratique quand on fait ses courses pour savoir s’il y a une erreur grossière sur le montant qu’on paie.↩︎
Selon le site: https://bit.ly/3V7gqHE le volume véritable du lac est de $89$ milliards de mètres cubes. Sa longueur est de $73{\mathrm{km}}$, sa largeur est de $14{\mathrm{km}}$ et sa profondeur moyenne est de $150.4{\mathrm{m}}$.↩︎
Une lettre représentant la quantité entourée de crochets.↩︎
La norme est l’équivalent de la valeur absolue pour les scalaires.↩︎
A titre d’exemple, pour un contact bois sur bois, on a $\mu_k=0.2$, pour du caoutchouc sur du béton $\mu_k=0.8$, et pour les jointures des articulation $\mu_k=0.01$.↩︎
A titre d’exemple, pour un contact bois sur bois, on a $\mu_s=0.4$, pour du caoutchouc sur du béton $\mu_s=1$, et pour les jointures des articulation $\mu_s=0.01$.↩︎
Cette équation peut aussi s’écrire $\vec x(2\delta t)=\vec x(\delta t)+\delta t\cdot \vec v(\delta t)$.↩︎
La Terre conduit suffisamment bien et est tellement grande qu’elle agit comme un réservoir infini ou un puit infini à électrons.↩︎
Si la distance est doublée la force est divisée par quatre.↩︎

Avertissement

Bibliographie

Analyse dimensionnelle

Généralités

Unités, Système International

Longueur

Temps

Masse

Température

Courant

Ordre de grandeur

Analyse dimensionnelle

Les lois de Newton

Vecteurs

Motivation

L’arithmétique des vecteurs

Systèmes de coordonnées

Le produit scalaire

La force et la première loi de Newton

La deuxième loi de Newton

La masse

Et cette deuxième loi alors?

La troisième loi de Newton

Applications des lois de Newton

Problèmes couplés

Forces de frottement

Force de frottement cinétique

Force de frottement statique

Frottement visqueux

Questions

Mouvement circulaire et gravitation

La cinématique du mouvement circulaire

La dynamique du mouvement criculaire

La loi de la gravitation universelle

Les équations du mouvement

Le mouvement sans accélération

Le mouvement avec accélération

La charge électrique et le champs électrique

L’électricité statique et la conservation de la charge électrique

La charge électrique dans les atomes

Isolants et conducteurs

La loi de Coulomb

Deux exercices

Le champs électrique

Les lignes de champs électrique

Le champs électrique dans des conducteurs

La loi de Gauss

Résumé

Le potentiel électrique

L’énergie potentielle électrique

Le potentiel électrique

Lien entre potentiel électrique et champs électrique

La capacité électrique

Description moléculaire des diélectriques

Résumé

Le courant électrique

La batterie électrique et son fonctionnement en 5min

Le courant électrique

La loi d’ohm

La puissance électrique

Le courant alternatif

Les circuits électriques

Les résistances en série et en parallèle

Les circuits contenant des capacités en parallèle ou en série

Les circuits RC

La charge du condensateur

La décharge du condensateur

Remerciements